波形はなぜ「サインコサイン」なのか

質問

よ～く質問を読んでください。
なぜ「波形」はサインコサインカーブを描くのでしょうか？なぜ他の関数ではないのでしょうか？何回微分しても位相が90度ずれていくだけというところに鍵があるきがします。重力と流体の織り成す宿命なのでしょうか？

回答No.4

masudaya · ベストアンサー

例えば,動径方向に広がる波みたいな波動方程式を解くと確かベッセル関数になったような気がします.
＃2さんが指摘しているように,現実の波はそんなにきれいな正弦波をしていません.私は仕事がら電子回路を見ますが,よほど上手に設計しないと,きれいな発振波形(正弦波)は得られません.見た目にきれいな波形程度なら比較的簡単ですが...
簡単な波紋も,減衰正弦波になったような気がします.
振動や波動の理想的な条件を方程式に表すと,位置に比例して逆方向に力が掛かる,つまり位置の2回微分が位置に比例する,という方程式になります.これがサインカーブになっているのです.
また,一般的な波動方程式からは,サインカーブを直接導くことは出来ません.(サインカーブは波動方程式は満たします.しかし他の関数でも,波動方程式を満たすものがあります.)木の葉動方程式から得られるものは波動の時間変位も位置の変位も同じように位相変化で捉えられる,ということになります.
なので,波の形は必ずしもサインコサインにはならない場合もあります.
ただし,＃１さんが指摘されているように,ほとんどの関数はフーリエ展開できますので,その意味では,すべての波形は三角関数で作れるとは言えます．(同じような意味でワイヤシュトラトスの定理があり,すべての波形は多項式で作れるとも言えます.)

お礼

やはり、距離に比例して力がかかるというのがかぎなんですね。勉強になりました。

回答No.6

foobar

#2,#4さんが書かれているように、実際の波は正弦波にはなっていないことが多いです。

ただ、非常に振幅の小さい条件（+波や振動のおきる空間の状況によっては）だと、挙動を定係数の線形微分方程式で（近似的に）表すことができて、その解が(減衰や発散を伴う)正弦波になると。
（微分方程式をとくときには、「正弦波(や指数関数)は微分しても積分しても、周波数（や時定数）の変わらない正弦波（や指数関数）」という性質が効いてきますが）

お礼

実際の波と理想系のものとは違うわけですね。よくわかりました。

回答No.5

spring_f

簡単にいえば、波は「単振動」だからです。
円運動を横軸に時間、縦軸に円の位置でグラフ化すればSinカーブになります。
x=Acos(ωt+φ)

お礼

確かに「振動」の一種ですね。

回答No.3

tetsumyi

これは単純に数学の問題です。
質量のある物に位置が移動した時に移動した距離に比例して元に戻そうとする力が働く場合、サインカーブの形のグラフになります。
自然現象の中でこのような力が働くことが多いということです。

お礼

距離に比例が鍵なんですね。

回答No.2

ojisan7

>波形はなぜ「サインコサイン」なのか
高校以来、「なみ」と言えば、すぐに、「サインコサイン」が頭に浮かびます。しかし、日常経験する「なみ」は、本当に「サインコサイン」でしょうか？　水面の波であれ、地震波であれ、実際の波で「サインコサインカーブ」の波は厳密には存在しません。波というのは、揺れる現象ですよね。ですから、数学的には周期関数であればなんでもかまいません。強いていうならば、周期関数でなくてもよいのいです。では、なぜ波動現象に「サインコサイン」を使うのかの理由は、数学的な取り扱いやすさにあります。「サインコサイン」は何回でも微分できるし、任意の周期関数は「サインコサイン」の級数として表せる、等々です。以上の理由から、波形の代表（波動方程式の特殊解）として、「サインコサイン」が使われるのです。サインカーブは周期関数として最も計算が簡単な関数ですね。

お礼

便宜上選ぶということもあるのですね。なるほどです。

回答No.1

hitokotonusi

フーリエの定理というのがありまして、すべての周期関数は三角関数の重ね合わせで作ることができます。したがってサイン、コサインだけやっておけばあとはそれを重ね合わせることでいかようにもすることができます。だから波といえばもっとも簡単なサイン、もしくは、コサインで代表させるのですね。

波形にはサイン、コサイン意外にもノコギリ波や矩形波という物もありますよ。もっと複雑なものでは楽器の音とか人間の声とかは単純な関数ではあらわせない波です。

が、上述のとおりこれらの波も、サインとコサインの重ね合わせて作ることができます。

お礼

フーリエの定理というものがあるのですね。「周期」ということが利いているんでしょうね。よくわかりました。