助けてください><

質問

質問の仕方が規約に反していたようで質問が削除されてしまいました。前回丁寧に教えて下さったみなさま、本当にありがとうございます。
おかげさまで（４）まで解くことができました。

>>YHU00444さん
左辺が負になるということは速度が負ということになるのでありえないというわけですね。なのでこの場合は左辺が正の場合だけで判断しました。

［問題］質量mの質点を、t＝０において原点から初速度v0で鉛直上方に投げ上げ
る。
原点は重力(重量加速度g)と粘性抵抗力が働く。以下の設問に答えよ。
(1)鉛直上方にx軸をとった場合の運動方程式をかけ。粘性抵抗力は－bv(v=dx/dt)
とする。
(2)vをtの関数として求めよ。
(3)最高点に達するまでの時間Tを求めよ。
(4)最高点の高さが、x(T)＝－(m/b)^2g log(1+bv0/mg)+mv0/bで表されることを示
せ。
(5)x(2T)＞0を示せ。必要ならば、次の実数zに対し,f(z)=z(2+z)/1+z－2log(1+z)
としてf(z)＞０の成り立つことを用いよ。(ヒント：z＝bv0/mgと考えよ)
(6)粘性抵抗があるときの鉛直投げ上げにおいて、質点の上昇時間と下降時間では
いずれの方が長くなるか、前の設問の結果を用いて説明せよ。

（３）の答えが-log(mg/v0 b+mg)(m/b)であるというところまで求めることができました。(５)はf(bv0/mg)=bv0/mg{2+(bv0/mg)}/1+(bv0/mg)－2log{1+(bv0/mg)}という風に代入して解くのでしょうか？
　だとしたら{2bv0/mg+(bv0/mg)^2}/1+(bv0/mg)－2log{1+(bv0/mg)}のような形に変形してみましたがどのような指針で進めればいいのかわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

＃６です。
　お礼をありがとう。

＞ｔ＝２Tを代入して素直に解くと、
＞　　x(2T)＝g(m/b)^2{1+z-1/(1+z)-2log(1+z)}　　・・・（A)
＞という形になり、一見するとf(z)とは異なる形に見えますが、実は、
＞　　f(z)＝z(2+z)/(1+z)－2log(1+z)
＞　＝{(1+z)^2-1}/(1+z)-2log(1+z)
＞　＝(1+z)-1/(1+z)-2log(1+z)　　・・・・・（B)
＞となって、式（A)と同じ形になっているのです。

＞とありますが(A)のg(m/b)^2はどのように扱えば良いのでしょうか？

　g(m/b)^2の符号は、プラスですか？　マイナスですか？
　ｇは＋で、ｍは＋、ｂもプラス、さてどうなるでしょう。
　これを考えれば、x(2T)=g(m/b)^2・f(z)＞０　であることを示すことができると思います。

＞また（６）の解答は式を立てたりする必要はないのでしょうか？

＞最高点に達するまでの時間はTでした。
＞　また、その倍の時間２Tでは、x(2T)>0よりまだ上空にありました。
＞　さて、その結果いえることは？

＞とありますように下降時間の方が長くなることは明白なので文章で説明しようかと思ったのですが

　そうです。
　ここでは式を立てる必要はありません。
　言葉で説明できれば、それでいいのです。
　　質点の上昇時間は　Ｔ
　　質点の下降時間は　２Ｔ－Ｔより大
とこのことから説明すればＯＫです。

お礼

g(m/b)^2の符号は必ず正になります。
なのでx(2T)=g(m/b)^2・f(z)＞０が成り立ちx(2T)>0であることが言える。

非常にわかりやすい説明どうもありがとうございました。
パソコンで説明することは非常に手間も時間もかかったと思います。見ず知らずの私なんかのためにこんなにも親身になって説明していただけて本当に感謝しています。
教えて！gooで質問をするのは今回が初めてなので色々と失礼もあったかと思います。すいませんでした。
けれどMr_HollandさんとYHU00444さんのおかげで今回の問題をきちんと理解することが出来ました。感謝しても仕切れません。本当にどうもありがとうございました。

回答No.5

Mr_Holland

＃４です。
　補足を拝見しました。
＞-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)exp{-b(m/b)・log(1+bv0/mg)/m}が
＞-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)＋mv0/bに変形できれば完璧なのですが
＞exp{-b(m/b)・log(1+bv0/mg)/m}の変形の仕方が今ひとつわかりません。どのようにすれば良いのでしょうか？

　ごめんなさい。
　誤記がありました。混乱させてしまったようで申し訳ありません。
　以下のように訂正させてください。(ｂとｍを入れ違えてしまいました。）

＞x(t)＝-(mg/b)t-(b/m)(v0+mg/b)exp(-bt/m)+(b/m)(v0+mg/b)
(正)　＝-(mg/b)t-(m/b)(v0+mg/b)exp(-bt/m)+(m/b)(v0+mg/b)

＞　　＝(b/m)(v0+mg/b)-(mg/b)t-(b/m)(v0+mg/b)exp(-bt/m)
(正)　＝(m/b)(v0+mg/b)-(mg/b)t-(m/b)(v0+mg/b)exp(-bt/m)

＞　　＝(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)gt-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)exp(-bt/m)
(正)　＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)gt-(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)exp(-bt/m)

　その上で、質問の趣旨を考えますと、対数関数を指数関数にかけたらどうなるかが分からないのだろうと思います。
　基本は、exp{log(x)}=x　です。
　なぜだか分かりますか？
　両辺に対数をかけると、log(x)=log(x)になりますからね。
　それに元々、logというのは、底をeにしたとき何乗になるかを示したものなので、対数関数の指数関数は元のものに戻るのです。

　さて、誤記で混乱させてしまったお詫びに、式変形を記しておきます。参考にしてください。

x(T)＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)gT-(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)exp(-bT/m)
　　＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)g・(m/b)・log(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)exp{(-b/m)(m/b)・log(1+bv0/mg)}
　　＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)exp{-log(1+bv0/mg)}
　　＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)・1/(1+bv0/mg)　　（∵exp{-log(x)}=1/x)
　　＝(m/b)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)-(m/b)^2・g
　　＝(m/b)^2・g・bv0/mg-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)
　　＝mv0/b-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)
　　＝-(m/b)^2・g・log(1+bv0/mg)+mv0/b

お礼

本当に何度もすいません。

ｔ＝２Tを代入して素直に解くと、
　　x(2T)＝g(m/b)^2{1+z-1/(1+z)-2log(1+z)}　　・・・（A)
という形になり、一見するとf(z)とは異なる形に見えますが、実は、
　　f(z)＝z(2+z)/(1+z)－2log(1+z)
　＝{(1+z)^2-1}/(1+z)-2log(1+z)
　＝(1+z)-1/(1+z)-2log(1+z)　　・・・・・（B)
となって、式（A)と同じ形になっているのです。

とありますが(A)のg(m/b)^2はどのように扱えば良いのでしょうか？

また（６）の解答は式を立てたりする必要はないのでしょうか？

最高点に達するまでの時間はTでした。
　また、その倍の時間２Tでは、x(2T)>0よりまだ上空にありました。
　さて、その結果いえることは？

とありますように下降時間の方が長くなることは明白なので文章で説明しようかと思ったのですが

回答No.4

Mr_Holland

＃３です。

＞しかし（４）出来たつもりだったのですが-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}をただ積分しただけでした。
＞-(mg/b)t-(m/b)・exp{-(b/m)t}+cになったのですがここからどのようにしてxの式にすればよいのでしょうか？

　v(t)を積分してx(t)を得るというのは、正しいやり方です。
　ただ、積分を間違えてしまっているようです。(expの係数に注意！）

　　v(t)＝-mg/b+(v0+mg/b)exp(-bt/m)
　　x(t)＝∫v(t)dt
　　　　＝-(mg/b)t-(b/m)(v0+mg/b)exp(-bt/m)+C　（Ｃ：積分定数)

　そして、ここで積分定数が出ますが、これは初期条件などから特定します。
　この問題では、初期条件は、ｔ＝０のときｘ＝０ですから、

　　x(0)＝0-(b/m)(v0+mg/b)+C＝０
　∴C＝(b/m)(v0+mg/b)

と求められますので、x(t)は次のようになります。

　　x(t)＝-(mg/b)t-(b/m)(v0+mg/b)exp(-bt/m)+(b/m)(v0+mg/b)
　　　　＝(b/m)(v0+mg/b)-(mg/b)t-(b/m)(v0+mg/b)exp(-bt/m)
　　　　＝(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)-(m/b)gt-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)exp(-bt/m)

　x(t)は1番目の式まで得られていれば十分ですが、x(T)やx(2T)を求める作業を考えて、3番目の式まで変形しておくと、後が楽になります。

お礼

間違えてお礼ではなく補足にかきこんでしまいました。
すいません；；気にしないでください。

補足

非常によくわかりました！ありがとうございます。
なんですが・・・
-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)exp{-b(m/b)・log(1+bv0/mg)/m}が
-(b/m)^2・g・(1+bv0/mg)＋mv0/bに変形できれば完璧なのですが
exp{-b(m/b)・log(1+bv0/mg)/m}の変形の仕方が今ひとつわかりません。どのようにすれば良いのでしょうか？

回答No.3

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとう。頑張っておられるようですね！

＞(3)の答えなのですが、T=-log(mg/v0 b+mg)(m/b)で合っているのでしょうか？
＞自分で解いたときに（２）の答えがv=e^-(b/m)t・(v0+mg/b)-mg/bになってしまってそこにv＝０で代入しただけなのでわからなくなってしまいました；

　Ｔの答えは合っていますよ。
　より正確を期して書けば次のようになります。
　　Ｔ＝(m/b)・log(1+bv0/mg)
　これなら、Ｔ＞０であり、(m/b)がlogの外にあることがはっきりしますよね。

＞本来ならばv(t)＝-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}から導きだすべきなのではないのでしょうか？

　それに、「v=e^-(b/m)t・(v0+mg/b)-mg/b」も「v(t)＝-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}」もどちらも記述の仕方が違う（e^→exp、など）だけで中身は同じものになっていますよ。（少し混乱してしまったのかな？）
　ひょっとしたら、この式
　　log{(v+mg/b)/(v0+mg/b)}=-(b/m)t
からv=0を代入してTを求めたと言いたかったのでしょうか。（ちなみに、絶対値記号が外れていることに注意してください。以前の考察で符号がプラスしかありえないと考えた結果が反映されています。）
　もし、この式から求めても同じ結果が出ます。
　どの式も同じ運動の過程を記述したものなので、条件さえ変わっていなければ、どの式から求めても構いませんよ。

　健闘を祈ります！

お礼

おかげさまで捗っています。
でもちょっと混乱してました；すいません。笑　

でもとりあえず（３）まではしっかりできたとおもいます！
しかし（４）出来たつもりだったのですが-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}をただ積分しただけでした。
-(mg/b)t-(m/b)・exp{-(b/m)t}+cになったのですがここからどのようにしてxの式にすればよいのでしょうか？

回答No.2

YHU00444

Mr_Hollandさん、フォローTHXです。
まぁ、そもそもなぜ絶対値の正負を考えなくてはならないかというと、一般に粘性抵抗のある中での物体の落下（ma=mg-bv）には二種類あって、v>mg/bのときにv(t)=mg/b+C*exp{-(b/m)t}と終端速度に上から近づくか、v<mg/bからv(t)=mg/b-C*exp{-(b/m)t}と下から近づくかによって各々の符号が違うわけです。
※CはC>0の定数。なお、C=0はトリビアルなので省略。（もちろんma=0の意味を考えるのは大切なこと）

で、いまvはいったん0になるのだから、そこからどう頑張ったって終端速度を飛び超えてv<-mg/bになるわけがないだろう、と、運動方程式を見ながら考察して欲しかったのでした。
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ちなみに(6)は、粘性抵抗のない場合の運動方程式（単に重力のみ掛かっている場合）を考えたら、長短の比較自体はあっという間にできてしまいますね。
ただし、今回の問題ではあくまで(5)の結果を用いて答えないとアウトなので注意しましょう。

※物理でも国語力（設問の意味や提示の意図を正しく理解する能力）は大事だと思う。

お礼

ありがとうございます。本当に助かってます。

（６）は（５）が終わり次第すぐにやりたいと思っているのでそのときに参考にさせていただきたいと思います。
忙しいところ私の質問に丁寧にお答えいただき本当にありがとうございます。

回答No.1

Mr_Holland

YHU00444さんのお陰で、だいぶ進んだようですね。

＞>>YHU00444さん
＞左辺が負になるということは速度が負ということになるのでありえないというわけですね。なのでこの場合は左辺が正の場合だけで判断しました。

　この理解は、残念ながら、間違っています。（結果は正しいですが。）
　　log|(v+mg/b)/(v0+mg/b)|=-(b/m)t
という式からlogを外す場合、両辺にexpをかけて、
　　|(v+mg/b)/(v0+mg/b)|=exp{-(b/m)t}
となるところまではいいですが、その後、絶対値を外して、
　　(v+mg/b)/(v0+mg/b)＝±exp{-(b/m)t}
となります。
　ここで、t=0のときを考えます。
　　（左辺）＝(v0+mg/b)/(v0+mg/b)＝１
　　（右辺）＝±１
となりますので、右辺の符号はプラスでなければならないことが分かります。

　また、この符号の箇所は、次のように考えても構いません。
　左辺のｖは時間の経過とともにどうなると予想されるでしょうか。
　最初、上向きにプラスだった速度は、重力と空気抵抗で減速して、質点の変位の最高点で０になり、その後マイナスの速度になっていくと考えられます。（さらに想像が進めば、ある一定の速度になると重力と空気抵抗とが釣り合って、それ以上減速されないだろうということが分かります。この点はあとで検証します。）
　つまり、右辺は時間の経過とともに減少するはずだということです。
　一方、右辺は、符号がプラスの場合、時間ｔの経過とともに減少し無限大の時間で０になります。符合がマイナスの場合は時間の経過とともに増加し、無限大の時間では同じように０になります。
　この右辺の傾向と左辺の傾向とを見比べますと、傾向が一致するのは、右辺の符号がプラスの場合だけだということが分かります。

　したがって、このような考察を経て、
　　(v+mg/b)/(v0+mg/b)＝＋exp{-(b/m)t}
となり、あとは整理をして、
　∴v(t)＝-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}　　←設問（２）の答え
を得ます。
　（ちなみに、ここで、ｔ→∞の場合を考えて見ましょう。このとき、指数関数は０になりますから、
　　v(∞)＝-mg/b
と一定になり、この速度が重力と空気抵抗が釣り合ったときの釣り合い速度になっています。）

　(3)は、T=-log(mg/v0 b+mg)(m/b)、で合っていて、(4)まで到達できたということですね。

　それでは、(5)以降ですが、(4)と同じようにｔ＝２Tを代入して、問題で与えられた不等式を使って解くのですが、実はこの不等式、少し意地悪が施されています。
　ｔ＝２Tを代入して素直に解くと、
　　x(2T)＝g(m/b)^2{1+z-1/(1+z)-2log(1+z)}　　・・・（A)
という形になり、一見するとf(z)とは異なる形に見えますが、実は、
　　f(z)＝z(2+z)/(1+z)－2log(1+z)
　＝{(1+z)^2-1}/(1+z)-2log(1+z)
　＝(1+z)-1/(1+z)-2log(1+z)　　・・・・・（B)
となって、式（A)と同じ形になっているのです。
　ですから、x(2T)の式をz(2+z)/(1+z)－2log(1+z)と変形してもいいですが、最初にf(z)が式（B)のように変形できることを示した上で、式（A)の結果から、x(2T)>0と示したほうが楽なように思われます。

　次に(6)ですが、まだ考えていないようですので、ヒントだけにしておきます。
　最高点に達するまでの時間はTでした。
　また、その倍の時間２Tでは、x(2T)>0よりまだ上空にありました。
　さて、その結果いえることは？

お礼

皆さんのおかげで本当に助かっています。

(3)の答えなのですが、T=-log(mg/v0 b+mg)(m/b)で合っているのでしょうか？
自分で解いたときに（２）の答えがv=e^-(b/m)t・(v0+mg/b)-mg/bになってしまってそこにv＝０で代入しただけなのでわからなくなってしまいました；

本来ならばv(t)＝-mg/b+(v0+mg/b)exp{-(b/m)t}から導きだすべきなのではないのでしょうか？
またその場合どのようにすればよいのかわかりません。
たびたび申し訳ないのですが教えてきただきたいです。