次の運動方程式をたてよ (終端速度) 教えてください(；；)

質問

重力と、速度に比例する抵抗力を受けて鉛直方向に運動する質量ｍの質点がある。

1.鉛直上方にｚ軸を取る時
2.鉛直下方にｚ軸を取る時

速度の２乗に比例する場合

3.鉛直上方にｚ軸を取る時
4.鉛直下方にｚ軸を取る時

別に課題やレポートってわけではないのですが、ずうーと前から気になってたんで教えてください。

例えば１は
..　　　　　　・
ｍｚ＝－ｍｇ－ｋｚ　　(1)なのか
..　　　　　　・
ｍｚ＝－ｍｇ＋ｋｚ　　(2)なのか分かりません。

(1)とすると終端速度は－となって正しいのです、だから、ｚの１回微分はマイナスだから、これで正しいのかなって思ったら、じゃぁ、速度の２乗に比例する場合はどうあがいても＋となる！？？なんか授業ノートと違うとなって・・・

とにかく、どちらを正の方向と取るかで、どう考えてよいのか分からなくなって混乱してしまいます（；；）
どうか1.2.3.4.の運動方程式を教えてださい

回答No.7

march4

あなたは恐らく、スカラーとベクトルの違いの辺りで混乱しているのだと思います。

スカラー（向きを持たない値）
ベクトル（向きを持つ値）
に注意して、下の文章を読んでみてください。

「重力」と、「速度に比例する抵抗力」を受けて鉛直方向に運動する質量ｍの質点がある。
質問：次の運動方程式をたてよ　(終端速度)

問1、鉛直上方にｚ軸を取る時 （上向きがプラス）

ma=F
↑運動方程式：aは加速度
　加速度「a」は、プラスかもしれないし、マイナスかもしれない値。
　aがプラスかマイナスかは、右辺の式で決まる。
　さらに、右辺がプラスかマイナスかは、最初の設定条件で決まる（どっち向きをプラスにとるかで決まるということです）。

ma=F
=-mg+kv　

↑★(-mg)について
　gは、重力加速度の大きさで、gにはベクトルの意味はありません。
　つまり、鉛直上方をプラスにとった軸の場合、
　g（正の値）の大きさで鉛直下方の向きに加速して落ちる落下物
　は(-g)の加速度を持つことになります。
↑★(+kv)について
　vは、速さで、vにはベクトルの意味はありません。
　つまり、鉛直上方をプラスにとった軸の場合、
　落下物にはkv(正の値)の大きさで鉛直上方の向きに働く抵抗力が働きます。

よって、問１：ma=-mg+kv

問2、鉛直下方にｚ軸を取る時 （下向きがプラス）

ma=F
=mg-kv

↑★(+mg)について
　下向きに加速度g(正の値）で落下する物体に働く「重力」
↑★(-kv)について
　上向きに(+kv)の大きさで働く「抵抗力」

よって、問２：ma=mg-kv

この辺で分かってもらえたんじゃないかと思うのですが、
文字（例えば、m、k、g、vなど）を使う時は「正の値」なのかどうかをはっきりさせた方がよいと思います。
文字の中にマイナスが入っていると、頭がこんがらがると思います。
マイナスは、「向き」を表す時に使うと分かりやすいと思います。
そして、力や速さや距離などの値は、正の値（プラスの値）を使うのです。

同様に「速度の２乗に比例する場合 」

問３、鉛直上方にｚ軸を取る時

ma=-mg+kv^^　　　（「^^」は２乗を表す）

つまり、問１と問３の違いは、
抵抗力の大きさ（正の値）が 「kv(正の値) 」か「kv^^(正の値)」かの
違いです。
向きに関しては一緒ですから。

同様に、
問４：鉛直下方にｚ軸を取る時

ma=mg-kv^^

以上が考え方でした。
お役に立てればと思い、書かせて頂きました。

頑張って下さい。

回答No.6

Teleskope

<#>No2でぶっきらぼうに書き過ぎたような気がするのでｗ</#>

Ａ．
出発式
　　dV/dt = ｇ - k/m・V 　 　 …(1)
　　dV/dt = ｇ - k/m・V^2　　…(2)
ここで勘違いして欲しくないのだけど、Z座標の方向にかかわらず、Vで書いた式では(2)のｇにマイナスが付くことは無いのです。
貴方の迷いを払拭するため、V=-dz/dt を代入すれば、
(1)式は
　　-d2z/dt2 = ｇ + k/m・dz/dt
　 　 d2z/dt2 = -ｇ - k/m・dz/dt　…(3)
(2)式は
　　-d2z/dt2 = ｇ - k/m・(dz/dt)^2
　 　 d2z/dt2 = -ｇ + k/m・(dz/dt)^2　…(4)
となり、右辺の符号が異なるのがひっかかるんですね？それでは…

Ｂ．
終速度とは 速度が時間不変 dV/dt=0 つまりd2z/dt2=0のことゆえ(3)(4)の左辺=0から直ちに
　　dz/dt = - ｍｇ/k　　　 　 　 …(5)
　　dz/dt = -√(ｍｇ/k)　　　　…(6)
と求まってしまう。
ここで(6)を求めるとき(4)右辺の符号が相いに異なってないと√-1になってしまうんだが。つまり符号が異なってるのが正しいのです。　それとは別に、√で開く解は±２つあり、この場合は題意に沿う－の方を選択しました。
以上で疑念が解けましたか？

Ｃ．
駄目押しにちょっと微方を解いてみよう。(3)は言わずもがなゆえ(4)のみ。
見通しが良いよう、一気に二次を解かずu=dz/dtと書き直して
　　du/dt = -ｇ + k/ｍ・u^2　　…(7)
　　= -ｇ（1-ａ^2u^2）　　但しａ^2=k/(ｍｇ)
　　= -ｇ（1+ａu）（1-ａu）
　　= -2ｇ/（ 1/(1+au) + 1/(1-au) ）
変数が分離でき、
　　2ｇ・dt = -du/(1+au) - du/(1-au)
辺々積分
　　2ａｇt = -ｌｏｇ（1-au） -ｌｏｇ（1+au）
uを出す
　　u = -1/a・(ε(2agt)-1)/(ε(2agt)+1)
　　　 = -1/a・tanh(ａｇt）　　…(8)
これが速度の解ですね。
念のため t→∞を確か
めると tanh は ＿＿／￣￣ の形で右は+1に漸近ゆえ、
　　uf = -1/a = -√(ｍｇ/k)
となり(6)と一致する。
次に u=dZ/dt に戻して(8)を積分すれば、求める（以下略）

回答No.5

keyguy

間違いと言うより不適切な表現でした

上方をz軸正方向にとりz軸方向にしか質点が動かない場合には
v=(０、０,z')であり
g＝(０、０、ー｜g｜)であり

m・z"=-m・|g|ーk・z’

２乗の場合は
m・z”＝ーm・｜g｜ーk・｜z’｜・z’
である

回答No.4

keyguy

上方をz軸正方向にとりz軸方向にしか質点が動かない場合には
v=(x',y',z')であり
g＝(０、０、ー｜g｜)であり

m・z"=-m・|g|ーk・z’

２乗の場合は
m・z”＝ーm・｜g｜ーk・｜z’｜・z’
である

回答No.3

keyguy

mを物体の質量とし
vを物体の速度ベクトルとし
gを加速度ベクトルとする

物体の速度の大きさに比例してその速度と反対に力を受けその比例定数をkとしたときの物体の運動方程式は
m・v'=m・g-k・vです

物体の速度の大きさの2乗に比例してその速度と反対に力を受けその比例定数をkとしたときの物体の運動方程式は
m・v'=m・g-k・|v|・vです

座標を地上に固定していればどのように取っても同じです
z軸を上向きに取ろうが下向きに取ろうが関係ないのです
g=(0,0,9.8)になるかg=(0,0,-9,8)になるかの違いだけです
地上45度の角度にz軸を取っても成分は違っても重力加速度の表現は同じgです
だからベクトル表現は便利なのです

回答No.2

Teleskope

>>鉛直上方をｚ軸の正にとった時のｍｇベクトルは
－ｍｇと表記されるべきではないでしょうか<<

Vを、ｇと同方向（下向き）に取ったので、ｇのVに対する寄与はプラスです。重力が引っ張れば落下速度は増します。

回答No.1

Teleskope

（画面の横幅を大きくして図が折り返らないようにご覧を。）

物体●は落下してるゆえ、速度ベクトルは重力の方向（下向き）をプラスとするのが常識的です。

Z軸　　　　　　　　時間経過と共に Z(t)は減少ゆえ、
│　　　　　　　　　その時間微分は負、つまり
│　↑抗力　　　　　V = -dZ(t)/dt
│　●　　　　　　運動方程式は抗力係数をｋとして、
│　↓重力　　　　　ｍ・dV/dt = ｍｇ - kV
│　　　　　　　　　　 ｍ・dV/dt = ｍｇ - kV^2
┼─── X軸

┼─── X軸
│
│　↑抗力　　時間経過と共に Z(t)は増加ゆえ、
│　●　　　　　その時間微分は正、つまり
│　↓重力　　　　V = dZ(t)/dt
│　　　　　　　運方は、
Z軸　　　　　　　　ｍ・dV/dt = ｍｇ - kV
　　　　　　　　　　 ｍ・dV/dt = ｍｇ - kV^2

それぞれの運方の V にそれぞれの dZ/dt を代入すると （以下略）

補足

すいません。

鉛直上方をｚ軸の正にとった時のｍｇベクトルは
－ｍｇと表記されるべきではないでしょうか？