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なぜtanzは周期πの周期関数なのか??
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- Mr_Holland
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定義から三角関数の加法定理を導き出して、sinとcosの関係からtanの周期性を導き出せばOKです。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0#.E8.A4.87.E7.B4.A0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.B8.E3.81.AE.E6.8B.A1.E5.BC.B5 z=x+iyとすると、 sin(z) =[exp{i(x+iy)}-exp{-i(x+iy)}]/(2i) ={cos(x)+i・sin(x)}exp(-y)/(2i)-{cos(x)-i・sin(x)}exp(y)/(2i) =sin(x){exp(y)+exp(-y)}/2+i・cos(x){exp(y)-exp(y)}/2 =sin(x)・cosh(y)+i・cos(x)・sinh(y) 同様にして、 cos(z)=cos(x)・cosh(y)-i・sin(x)・sinh(y) z'=z+πのとき sin(z+π) =sin(x+π)・cosh(y)+i・cos(x+π)・sinh(y) =-sin(x)・cosh(y)-i・cos(x)・sinh(y) =-sin(z) cos(z+π) =cos(x+π)・cosh(y)-i・sin(x+π)・sinh(y) =-cos(x)・cosh(y)+i・sin(x)・sinh(y) =-cos(z) ∴tan(z+π)=sin(z+π)/cos(z+π) ={-sin(z+π)}/{-cos(z+π)} =tan(z)
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
三角関数は半径1の円周上の点から作られます. x座標が cos, y座標が sin, そして,原点とその点を通る直線の傾きが tan です. 直線の傾きなんだから180度ちがっても同じです.
- fjnobu
- ベストアンサー率21% (491/2332)
πは180度ですね。Tanは180度で繰り返します。だからそのようになります。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
tanz = tan(z+π) であれば、tanzの周期がπということになります。 tan(z+π) = sin(z+π)/cos(z+π) ここで、 sin(z+π) = -sinz cos(z+π) = -cosz よって、 tan(z+π) = (-sinz)/(-cosz) = sinz/cosz = tanz
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