周期関数にはどんな種類のものがあるのですか？

質問

三角関数が周期関数の一つであることはわかるのですが、ほかにどのようなものがあるのですか？

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

不連続点が１周期内に有限個の周期関数ならすべてフーリエ展開できるわけではありません。例えばy=tan^3(x)とすると周期はπで奇関数なので[-π/2,π/2]の区間でフーリエ展開しようとすれば、sin(2nx)　(n=1,2,3…)で展開することになりますが、フーリエ係数は定義できません。sin(2nx)はすべてx=±π/2 で０になるので、これらの重ね合わせでx=±π/2 で発散する関数を表わすことには無理があります。しかしx=±π/2 で発散する関数でもy=tan(x) ならば(良い近似ではないが)
　tan(x)～2(sin(2x)-sin(4x)+sin(6x)-sin(8x)+…)
というフーリエ展開が定義されます。このように「全ての周期関数」のようなものを考えることは一般に困難で、「絶対値の二乗が可積分である関数」のような制限を付けて理論が作られています。これがL^2と呼ばれる関数の空間です。上のtan^3(x)やtan(x)はL^2に属さないのでフーリエ展開できることが保証されていません。しかしL^2に制限することは問題を矮小化するものだと言う批判も可能でしょう。実際にやって見るとtan(x)はフーリエ展開できそうに見えます。フーリエ展開については多数の教科書があるので一般論は割愛します。ご質問は周期関数にどのような種類のものがあるかと言うことなので、二重周期関数について触れるべきでしょう。有限領域で極以外の特異点を持たない１価正則な二重周期関数を楕円関数と呼び、大変重要なものになっています。最近注目されているのは
　周期運動→準周期運動→カオス
という遷移です。力学系の二つの自由度がそれぞれ、周期T1とT2を持つ時、この比が有理数ならばアトラクタは閉曲線となり、いつかは元に戻ってくることになります。しかし比が無理数の時、アトラクタはトーラスとなり、いつまでたっても元には戻りません。このとき準周期運動であると呼ばれます。

お礼

どうもありがとうございます。勉強させていただきます。

回答No.2

adinat

周期関数はだいたい三角関数の級数（フーリエ級数）であらわせるので、周期関数と三角関数が密接に結びついているのは間違いないですが、連続でない周期関数の場合はことはそう単純ではありません。（不連続点でフーリエ級数がギブスギャップと呼ばれる飛びを持つことになります。それでも不連続点が適当な区間に有限個しかないような場合はだいたいフーリエ級数展開できます）とりあえずひとつだけ例を挙げておきます。

f(x)=1（if x:有理数）
f(x)=0（if x:無理数）

で決まる関数f(x)は確かに周期関数になっています。たとえばf(x+1)=f(x)なのは明らかですし、もっと一般にαを任意の有理数とするとき、f(x+α)=f(x)になっています。普通われわれが周期関数といって想像するのは、正の最小周期（たとえばf(x)=sin xなら2π）を持つ関数ですが、上で上げた関数はいくらでも小さい有理数を考えることができるので、正の最小周期を持たない、いわば変な周期関数であることがわかります。ちなみにルベーグ積分論を知っていれば、L^2理論を援用して上のf(x)のフーリエ級数展開も可能です。ですが、この場合フーリエ級数は0という定数関数になってしまって、確かにほとんどすべての点（無理点）ではもとの関数に一致するのですが、その他の点（有理点）では0と1で異なる値をとっていることになります。このようなことはf(x)が不連続な関数だから起こることで、連続な周期関数ではこのようなことは起こりません。

お礼

ご教示有難うございます。勉強させていただきます。

回答No.1

ymmasayan

どのような周期関数もフーリエ展開すれば三角関数（sin）の集合に分解できます。
逆にいえば三角関数が周期関数の根幹かと思います。

お礼

周期性の起原が三角関数と無関係なものは存在しないということですね。ご教示ありがとうございました。