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円と関係がない周期関数もあるのですか?
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周期T0の周期関数x(t)（x(t+T0)=x(t)）は一定の条件（ディリクレの条件）を満たせば、フーリエ級数展開できます： x(t) = a_0/2+Σ(a_ncos(nt/T0)+b_nsin(nt/T0))（n=1～∞） ここで、cos(nt/T0)とsin(nt/T0)は周期T0/nの等速円運動のx成分とy成分です。つまり、任意の周期関数は周期T0/n（n=1～∞）の円運動の重ね合わせでかけます。No.3さんの例もこのようにかけます。この意味で、全ての周期関数は円と関係していると言えます。
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- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
「円上で定義されているのではない周期関数が存在するか」ということは「円とは異なるコンパクトLie群上でフーリエ解析が可能か」と言替えることができます。数学でこのような分野は調和解析と呼ばれています。円ではパラメータが中心周りの角度一つしかないのにたいし、一般のコンパクトLie群ではパラメータが複数でしかも非可換になります。調和解析の基礎になるのが、群G上関数空間L^2(G)を表現空間とする直積群G×Gのユニタリ表現を既約分解する公式を与えるPeter-Weylの定理です。この定理は群G上の任意の関数を群に内在する「良い関数」で近似する定理とも解釈できます。「良い関数」というのは円の場合は三角関数であり、SU(2)の場合は球面調和関数です。
お礼
素朴な疑問が深遠な根とどこかでつながっているというイメージを持ちました。ありがたいことだと思っています。勉強させてください。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
複素解析の方では楕円関数という周期関数があります.
お礼
ご教示有難うございます。楕円関数というのは大変難しいものと聞いております。
- neKo_deux
- ベストアンサー率44% (5541/12319)
信号の話で言うノコギリ波、パルス波とか。 ／|／|／|／| ＿|￣|＿|￣|＿ 数式の定義だと、絶対値とか剰余とかがついて、きれいな形にならない気がしますが。
お礼
形から観ると全然円と関係がないように見えますね。どうもありがとうございました。
- atsu2002
- ベストアンサー率23% (4/17)
周期があるものと言って、三角関数しか出てきませんが、sin や cos は確かに円になります。波の図形でかけるものは、円で書けます。ただ tan のグラフはどうやっても円で書けませんので、円と違うものと言えるかも？？物理の世界では楕円になる周期もありますが・・・。
お礼
ご教示有難うございました。内部論理的に元へ戻るものというのは，三角関数しかないということでしょうか。
- shinchan_k
- ベストアンサー率37% (16/43)
数学でいう周期は円とはあまり関係ないように思うんですが・・・ f(x+k)=f(x)を満たす関数が周期kの関数になります。 三角関数が代表的な周期関数かなと思います。
お礼
ご教示有難うございます。具体的なものとしてはグルッと回って元へ戻ってくるようなものしか考えられないのですが・・・
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お礼
円は周期に必ず関係しているというのは，なぜか安心できることのように思います。ご教示有難うございました。