古典制御のゲイン交差周波数と速応性の関係について

質問

制御工学を独学しているものです。
「相補感度関数において、バンド幅（ゲイン交差周波数）を高くすれば
それだけ制御帯域が増えるので、速応性がよくなる。」
ということらしいのですが、納得いきません。
バンド幅（ゲイン交差周波数）を高くすればそれだけ制御帯域が増え
るというのはゲイン線図を見れば明らかなので納得なのですが、なぜ
それが速応性の改善につながるのか理由がわかりません。
また、「ピークゲインが減衰性の指標になる」
というのもなぜそうなるのか理由がわかりません。
どなたか古典制御に詳しい方教えてください。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>「バンド幅はそもそも周波数領域での制御帯域の幅を表している、ただそれだけだと思うのですが、なぜ制御帯域が大きくなると、ステップ応答が速くなるのでしょうか？

バンド幅の拡げ方のうち、「(1) 単に周波数シフトする」のが判り易いでしょう。
簡単な例の一次ポール伝達関数
　H(s)=G/(s+a)　　　…s=j*(2πf), フラット部の最大ゲイン = H(0) = G/a
だと、fc=a/2πが ローパス特性の3dB ダウン・カットオフ周波数(つまりバンド幅)です。

そのステップ応答は H(s) にステップ波形 u(t) のラプラス変換 1/s を掛けた
　a/{s(s+a)}=(1/s)-{1/(s+a)}
の逆ラプラス変換として得られ、
　 u(t)-e^(at) = 1-e^(at)　　(t≧0)
という結果です。(ゲイン値は無視)

この応答波形は、0 から立ち上がり 1 へ収束しますが、収束に要する時間τ(時定数)は a の大きさに反比例します。
たとえば、カットオフ周波数(バンド幅) fc=a/2πが二倍になれば、収束に要する時間τは半分になる、という勘定が
成立するわけです。
-------------------------------
[参考]
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
>ラプラス変換
-------------------------------

ラプラス変換の定義式をみれば、例示した伝達関数に限らず、シェーピングはそのままで周波数応答の周波数スケール
を二倍すれば、時間波形応答の時間スケールは半分になることがわかります。

お礼

なるほど！！問題解決です。
本当に助かります。
どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#101087

>「相補感度関数において、バンド幅（ゲイン交差周波数）を高くすればそれだけ制御帯域が増えるので、速応性がよくなる。」ということらしいのですが、納得いきません。
>バンド幅（ゲイン交差周波数）を高くすればそれだけ制御帯域が増えるというのはゲイン線図を見れば明らかなので納得なのですが、なぜそれが速応性の改善につながるのか理由がわかりません。

バンド幅の拡げ方には、開ループゲインのシェイピング特性を
　(1) 単に周波数シフトする
　(2) ゼロ・ポールを増やす
などの選択肢があります。
どちらでもバンド幅を拡げれば、たとえばステップ応答はバンド幅に反比例して速くなりますね。
あとはチューニングでのクリティカル気味とかオーバーシュート気味とかの味付けでしょうか。

>また、「ピークゲインが減衰性の指標になる」というのもなぜそうなるのか理由がわかりません。

ゼロ・ポールを増やしたり、s-平面の実軸だけでなく複素配置にして減衰傾斜を稼ぐと、相補感度関数のピークゲインも尖がります。
「減衰性」(シェイピング特性のスロープ傾斜の緩急。もしかして誤解 ?)の目安といえそうですが。

(何か、微妙にポイントがずれているような気もします。.... もしそうなら補足してください)

補足

回答ありがとうございます。自分がいまいちよくわからないのが
「たとえばステップ応答はバンド幅に反比例して速くなりますね」
の部分なのですが、なんでバンド幅に反比例してステップ応答が
速くなるんですか？バンド幅はそもそも周波数領域での制御帯域の幅
を表している、ただそれだけだと思うのですが、なぜ制御帯域が大きく
なると、ステップ応答が速くなるのでしょうか？
そこの数式的もしくは直感的根拠が知りたいんです。