この微分方程式は解析的に解けるでしょうか?

質問

下記の非線形常微分方程式を解析的に解くための方法は在るのでしょうか?
それとも、数値計算でなければ無理ですか?

2・y '' ・y ' + x^2 = 0
y(0) = 0 , y(1) = 1

y = y(x) (yはxの関数) ,
y 'はxでの一回微分、y ''は二回微分です。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

(1)　　2y''y' = {(y')^2}'
ですから，
(2)　　(y')^2 = z
とでもおけば
(3)　　z' + x^2 = 0，
で
(4)　　z = -x^3/3 + C
になります．
したがって
(5)　　y' = ±√(-x^3/3 + C)
から
(6)　　y = ±∫{from 0 to x} √(-x^3/3 + C) dx
になります．
積分の下限をゼロにしたのは境界条件 y(0)=0 を考慮しています．
もう一つの境界条件 y(1) = 1 を考えると，(6)の複号は＋しか取れませんね．
あと，積分定数 C は
(7)　　1 = ∫{from 0 to 1} √(-x^3/3 + C) dx
を満たすように決めることになります．
(7)の積分は初等的にはできません(楕円積分を使えば書けますが)ので，
数値積分から C を決めるよりないでしょう．

お礼

回答ありがとうございました。