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この微分方程式は解析的に解けるでしょうか?
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(1) 2y''y' = {(y')^2}' ですから， (2) (y')^2 = z とでもおけば (3) z' + x^2 = 0， で (4) z = -x^3/3 + C になります． したがって (5) y' = ±√(-x^3/3 + C) から (6) y = ±∫{from 0 to x} √(-x^3/3 + C) dx になります． 積分の下限をゼロにしたのは境界条件 y(0)=0 を考慮しています． もう一つの境界条件 y(1) = 1 を考えると，(6)の複号は＋しか取れませんね． あと，積分定数 C は (7) 1 = ∫{from 0 to 1} √(-x^3/3 + C) dx を満たすように決めることになります． (7)の積分は初等的にはできません(楕円積分を使えば書けますが)ので， 数値積分から C を決めるよりないでしょう．
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