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A = {1, 2, 3, 4, 5}という集合に対して、 未知の集合Bがあって、 「BはAの部分集合である」と言われたら、どんな集合を想像しますか？ おそらく、{1, 2, 4}とか{4, 5}といった、 Aよりはサイズの小さい、すっぽりと含まれてしまう集合が 思い浮かぶと思います。 もちろんこれらはAの部分集合ですが、 仮にB自身がAと全く等しい{1, 2, 3, 4, 5}という集合であっても、 やはりAの部分集合なのです。 ちょうど、不等号の「B≦A」みたいなものです。 Aの部分集合の中で、初めに挙げたような 「Aと等しいわけではないもの」を特に「真部分集合」と呼びます。 ●すなわち、真部分集合は部分集合の一種です。 言い換えれば、「Aの部分集合」には2種類あり、 「Aの真部分集合でもあるもの」と「実はAと等しい部分集合」に分類されます。 不等号にたとえれば、「B≦A」とは「B＜A または B ＝ A」のことですね。 たったこれだけのことなのですが、実は記号の用い方に混乱があります。 「B⊂A」という記号は、本来「BはAの部分集合である」という意味で、 仮に「B＝A」であっても(すなわち真部分集合でなくても)「B⊂A」は正しいです。 しかし、それなら「B⊆A」と書くほうがいいのではないか、ということで、 部分集合の記号に2つの流儀が生じてしまっています。 「B⊆A」を部分集合の記号として使うなら、 「B⊂A」という記号は「BはAの『真』部分集合である」 という意味に使いたくなります。 こうすれば「≦」と「＜」にきれいに対応します。 しかし、もともと「B⊂A」が 「B＝Aの場合もひっくるめた部分集合の記号」 として用いられてきた以上、 「⊂」という記号には曖昧さがつきまといます。 はっきりと「BはAの真部分集合である」ということを示すためには、 「B⊂A」の「⊂」の下に「≠」を書き添えます。 ここから下は「No.1に対する補足」を読んだ上でのおせっかいですが、 例えば上の例で「『5』は集合Aの要素である」というとき、 「『5』は集合Aに含まれる」とは表現しないようにする 習慣を付けた方がいいですヨ。 「含まれる」というのは「部分集合」と同じ意味で、 2つの集合同士の関係を表すときに用いられます。 これに対し、要素と集合の関係を述べるときには 「『5』は集合Aの要素である」、あるいは 「『5』は集合Aに属する」と表現します。 記号も「5 ∈ A」と、「⊂」や「⊆」とは全く別のものを用います。
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- i536
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集合A,Bがあって、下記２条件を考えます。 A⊆B---(1) A≠B---(2) (1)は、A⊂BまたはA＝B の意味です。 (2)は、AとBは等しくないの意味です。 (1)が成立するとき,AはBの部分集合といい、 (1)と(2)が同時に成立するとき、AはBの真部分集合といい、 A⊂Bと書きます。 どんな集合も自分自身の部分集合になりえますが、 真部分集合にはなりえません。 言葉の定義の問題ですから、教科書でいま一度これらの言葉が 初めて出てくる部分を読まれるとご自分で納得されることでしょう。
お礼
すごく簡潔で分かりやすい説明ありがとうございます！ 私の高校の時の教科書には真部分集合が載ってなくて ちょっと困ってたんです。 どうもありがとうございました！
Ａ，Ｂ，Ｃ の集団があるとき、 Ａの必要条件も、Ｂの必要条件も、Ｃの必要条件も、すべて満たしている部分が、”真部分集合”。 部分集合は、ＡとＢ、ＡとＣ、ＢとＣなど２つの条件を持っている部分（３つの集合の場合には、３つの部分集合があります）。
補足
早速の回答ありがとうございます！ 部分集合の定義は集合AとBがあって、Aの要素をBが含む時に、A⊂Bと表すんですよね？ そのときA＝Bでも、A≠Bでもいいんですよね？ そして真部分集合はA⊂Bで、かつA≠Bを言うのだったら真部分集合と部分集合の 区別はどう付くのかが分からないのですが・・。 すいません。お手数ですが教えてください（>.<)
お礼
分かりやすい説明どうもありがとうございます！！ 例で示していただいたのでとてもよく分かりました！ 私自信集合はあまり習わなかったので高校生に教えるのに 大変です（汗） でもどうにか教える事が出来そうです！！ どうもありがとうございました！