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離散数学と言う授業で

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  • 質問No.296807
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お礼率 75% (3/4)

出された問題なのですが、解けなくて困っています。
(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})を満たす自然数x,y,zの全ての組を求めよ。
x=1のとき、(x^{y})^{z}=1, x^({y}^{z})=1 
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
z=1のとき、(x^{y})^{z}=x^{y}, x^({y}^{z})=x^{y}
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
y=z=2のとき、(x^{y})^{z}=x^{4}, x^({y}^{z})=x^{4}
したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
ここまでは分かりました。以上は十分条件で、必要十分条件まで考えて求めなきゃだめらしくて・・。対数とか使うらしいです。誰か教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

>それで必要十分条件になるんですか。

対数を取る作業は必要十分です。つまり、(1)⇔(3)であり(2)⇔(4)です。
(5)は(3)(4)から条件に従い変形しただけなので、(5)を考えれば必要十分です。
お礼コメント
msr-c

お礼率 75% (3/4)

ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-06-24 14:54:34

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1

{y}というのはどういう演算ですか?
補足コメント
msr-c

お礼率 75% (3/4)

x^{y}はxのy乗ってことです。
投稿日時 - 2002-06-21 16:15:14
  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

x^{y}は、xのy乗、つまり^{}は指数のつもりなんですよね。
その前提ですが、
まぎらわしいので、仮にx^{y}=u, y^{z}=v とし、
(x^{y})^{z}=u^{z}=a ---(1)
x^({y}^{z})=x^{v}=b ---(2)
とおきます。(1),(2)において対数をとると(底はe、以下省略)
log(a)=log(u^{z})=zlog(u)=zlog(x^{y})=yzlog(x) ---(3) (左辺と右辺ひっくり返してます。)
log(b)=log(x^{v})=vlog(x)=y^{z}log(x) ---(4)
今、a=bですから、log(a)=log(b) なので(3),(4)より
yzlog(x)=y^{z}log(x) ---(5)
ここで、x=1のときは、
>x=1のとき、(x^{y})^{z}=1, x^({y}^{z})=1 
>したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z})
でOK。
x≠1のとき、log(x)≠0 なので、(5)の両辺をlog(x)で割って
yz=y^{z} が得られます。
これを満たすy,zの組を考えればz=1(yは任意)とy=z=2のときしかないことが分かります。
a=bから(5)式を導くことにより、必要十分条件になっているはずです。

※多分、これでよいと思いますが。
お礼コメント
msr-c

お礼率 75% (3/4)

それで必要十分条件になるんですか。よく分かりました。ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-06-21 16:25:28
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

補足。
対数を取るところで、実際には底はなんでも良いのですが、普通は回答のようにeを底とする対数(自然対数)を使います。
底a,真数bの対数をlog_a(b)と書くとします。
(1)(2)式から定義通りに対数に直すと、
(x^{y})^{z}=x^{yz} ですから
(1) x^{yz} =a から log_x(a)=yz (3)'
(2) x^{v}=b から log_x(b)=v=y^z (4)'
となります。あとは同じですね。
お礼コメント
msr-c

お礼率 75% (3/4)

そう考えると少し楽ですね。ありがとうございます。
投稿日時 - 2002-06-21 16:27:15
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