離散数学の問題: (x^y)^z = x^(y^z) を満たす自然数の組を求めよ
- 離散数学の授業で出された問題で、式 (x^y)^z = x^(y^z) を満たす自然数 x, y, z の組を求める方法を知りたいです。
- 操作の順序を入れ替えても等しい数を求める問題で、式 (x^y)^z = x^(y^z) を満たす自然数の組を求めるためには対数を使用する必要があります。
- 十分条件は x = 1, z = 1, y = z = 2 のときであり、必要条件まで考えるためには対数を使う必要があります。対数の性質を活用して解析することが必要です。
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離散数学と言う授業で
出された問題なのですが、解けなくて困っています。 (x^{y})^{z}=x^({y}^{z})を満たす自然数x,y,zの全ての組を求めよ。 x=1のとき、(x^{y})^{z}=1, x^({y}^{z})=1 したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z}) z=1のとき、(x^{y})^{z}=x^{y}, x^({y}^{z})=x^{y} したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z}) y=z=2のとき、(x^{y})^{z}=x^{4}, x^({y}^{z})=x^{4} したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z}) ここまでは分かりました。以上は十分条件で、必要十分条件まで考えて求めなきゃだめらしくて・・。対数とか使うらしいです。誰か教えてください。
- msr-c
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>それで必要十分条件になるんですか。 対数を取る作業は必要十分です。つまり、(1)⇔(3)であり(2)⇔(4)です。 (5)は(3)(4)から条件に従い変形しただけなので、(5)を考えれば必要十分です。
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- hinebot
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補足。 対数を取るところで、実際には底はなんでも良いのですが、普通は回答のようにeを底とする対数(自然対数)を使います。 底a,真数bの対数をlog_a(b)と書くとします。 (1)(2)式から定義通りに対数に直すと、 (x^{y})^{z}=x^{yz} ですから (1) x^{yz} =a から log_x(a)=yz (3)' (2) x^{v}=b から log_x(b)=v=y^z (4)' となります。あとは同じですね。
お礼
そう考えると少し楽ですね。ありがとうございます。
- hinebot
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x^{y}は、xのy乗、つまり^{}は指数のつもりなんですよね。 その前提ですが、 まぎらわしいので、仮にx^{y}=u, y^{z}=v とし、 (x^{y})^{z}=u^{z}=a ---(1) x^({y}^{z})=x^{v}=b ---(2) とおきます。(1),(2)において対数をとると(底はe、以下省略) log(a)=log(u^{z})=zlog(u)=zlog(x^{y})=yzlog(x) ---(3) (左辺と右辺ひっくり返してます。) log(b)=log(x^{v})=vlog(x)=y^{z}log(x) ---(4) 今、a=bですから、log(a)=log(b) なので(3),(4)より yzlog(x)=y^{z}log(x) ---(5) ここで、x=1のときは、 >x=1のとき、(x^{y})^{z}=1, x^({y}^{z})=1 >したがって(x^{y})^{z}=x^({y}^{z}) でOK。 x≠1のとき、log(x)≠0 なので、(5)の両辺をlog(x)で割って yz=y^{z} が得られます。 これを満たすy,zの組を考えればz=1(yは任意)とy=z=2のときしかないことが分かります。 a=bから(5)式を導くことにより、必要十分条件になっているはずです。 ※多分、これでよいと思いますが。
お礼
それで必要十分条件になるんですか。よく分かりました。ありがとうございます。
{y}というのはどういう演算ですか?
補足
x^{y}はxのy乗ってことです。
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お礼
ありがとうございました。