f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能と示す
お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。
お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。
>>ｆ(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義
lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。
k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき、fy(a,b)=B
∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0
a=0,b=0として、
f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk|
f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は
fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0
fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0
これらを定義に代入して、
lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて
点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とｒのなす角をθとする。
cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ
(ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0)
(※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より
lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2
= lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r
= lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ|
∴ 極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。
お礼
ご回答有難うございます。 0<∀ε∈R,δ∈{t∈R;t + |3y|t + t^2<ε}:=A が採れるので (∵t + |3y|t + t^2=(t+(1+|3y|)/2)^2-((1+|3y|)/2)^2となり、 この放物線の頂点はt軸より下に来るのでどんな小さな(0<)εを採っても A≠Φ) δ∈Aを採れば (h^2 + 3yk^2 + k^3)/√(h^2 + k^2)<ε とできますね。 納得です