x=x(t),y=y(t)の時のd^3y/dx^3は[x'^4y"'-x'^3x"'y'-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7?

質問

x=x(t),y=y(t)の時のd^3y/dx^3を求めています。

x':=dx/dt,y':=dy/dtと置くと
d^3y/dx^3=d/dx(d^2y/dx^2)
=(1/x')d/dt((x'y"-x"y')/x'^3) (∵d^2y/dx^2=(x'y"-x"y')/x'3)
=(1/x')([{d/dt(x'y"-x"y')}x'^3-(x'y"-x"y')d/dt(x'^3)]/x'^6)
=(1/x')([{d/dt(x'y")-d/dt(x"y')}x'^3-(x'y"-x"y')・3x"x'^2]/x'^6)
=(1/x')([{(x"y"+x'y"')-(x"'y'+x"y")}x'^3-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^6)
=[{(x"y"+x'y"')-(x"'y'+x"y")}x'^3-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7
=[x'^3x"y"+x'^4y"'-x'^3x"'y'-x'^3x"y"-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7
=[x'^4y"'-x'^3x"'y'-3x'^3y"+3x'^2x"^2y']/x'^7
となったのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.1

noname#101087 · ベストアンサー

こちら、腕力不足ですが.... 。

>d^2y/dx^2=(x'y"-x"y')/(x')^3
これは OK。

d^3y/dx^3 = d/dt{(x'y"-x"y')/(x')^3}/x'
= {(x'y"-x"y')'*(x')^3-(x'y"-x"y')*3(x')^2*x"}/(x')^7

　(x'y"-x"y')' = x"y"+x'y"'-x"'y'-x"y" = x'y"'-x"'y' だから、

d^3y/dx^3
= (x'y"'-x"'y')*(x')^3-(x'y"-x"y')*3(x')^2*x"}/(x')^7
= {(x')^4 *y"'-(x')^3 *x"'y'- // 3*(x')^3 *y"*x" // +3(x')^2*(x")^2 *y'}/(x')^7

となりました。貴稿を引用。

>[x'^4y"'-x'^3x"'y'- // 3x'^3y" // +3x'^2x"^2y']/x'^7

//....// の個所だけ異なります。
これはタイプミスですね。

補足

有難うございます。
計算しなおしてみます。