確率

質問

縦２cm,横1cmの長方形を6つ並べて、縦4cm、横3cmの長方形を作る。
何通りの並べ方があるかについて
答えは11通りなのですが、図を描いて考えたのですが6通りしか思いつきません。
どのように考えるか教えてください。

回答No.9

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

■■、□□、○○など2つ1つのセットで縦2cm、横1cmの長方形と思ってくださいｍ（－－）ｍ
この図では分かりにくいかもしれないので実際に書いてみてくださいね

(1)まず4cm＊3cmの長方形を2cm＊3cmの長方形(上下)2つに分けます
(1-a)上の長方形について
この長方形を作るには
■□○　　■□□　　■■○
■□○　　■○○　　□□○
の3通りが考えられますよね？

(1-b)下の長方形について
これも上の長方形と同じように
△●▲　　△●●　　▲▲●
△●▲　　△▲▲　　△△●
の3通りが考えられますよね？

(1-c)この組み合わせは9通りなのですが・・・下記で何故そうなるのか分からないと書いてあるので・・・
■□○
■□○
上の長方形がこのとき下の長方形は
△●▲　　△●●　　▲▲●
△●▲　　△▲▲　　△△●
この3つのうちどれでもいいわけです

同じように上の長方形が
■□□
■○○
のとき下の長方形は
△●▲　　△●●　　▲▲●
△●▲　　△▲▲　　△△●

上の長方形が
■■○
□□○
のとき下の長方形が
△●▲　　△●●　　▲▲●
△●▲　　△▲▲　　△△●

となるわけですから全部で9通りということになります

(2)ここは可能性を考えた場合なので無視してもらっても構わないです
2cm＊3cmの長方形が真ん中にある場合
○○
□□△
●●△
▲▲
となり上下に1cm＊1cmの隙間ができてしまうのでこの場合は除外します

(3)4cm＊2cmの長方形
●●
○○
□□
▲▲
と、この長方形を作れるのは1通りしかありません
仮に縦に並べたとしましょう
●○
●○
□▲
□▲
これは(1-c)で作った
■□○
■□○
△●▲
△●▲
と同じ形になってしまうからです

話を戻して
●●
○○
□□
▲▲
のとき4cm＊3cmの長方形を作るにはこの長方形の左右に4cm＊1cmの長方形を足してやればいいですよね
●●☆　　☆●●
○○☆　　☆○○
□□★　　★□□
▲▲★　　★▲▲

ですので(1)で9通り(3)で2通りできたので合計11通りとなります

お礼

とても参考になりました。
1つの長方形として考えると、とても解きやすいです。
頭のもやもやがなくりました。
どうもありがとうございます。

回答No.11

kkkk2222

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お礼

11通りの図を全部載せて頂いてどうもありがとうございます。
とても参考になりました。
時間を費やせてしまってすいません。
ありがとうございました。

回答No.10

mirage70

この問題は、日本間の６畳部屋(縦２間、横１間半)に畳６枚使用して、敷き詰めたときに何パターン出来るかに、置き換えられます。
こちらから、考えた方が解放は、早いのでは。

回答No.8

age_momo

数を数え上げようという時は場合分けなどを使って漏れや重複が出ないように
工夫する必要があります。その数えるのもなるべく計算が使えるようにした方が
効率もよく間違いもありません。

少し表記方法を変えて

A B C D
E F G H
I J K L

この3×4を二つずつ結ぶ数を数えましょう。
この時、まず場合わけして

(1)二つの長方形に分けられる時

A B
E F
I J

と

C D
G H
K L

の二つに分けて小さい長方形を置いてみましょう。片方には3通りありますね。
それぞれ3通りずつあります。
(AB,EF,IJ、　AE,BF,IJ、　AB,EI,FJ)
(CD,GH,KL、　CG,DH,KL、　CD,GK,HL)
それぞれの組み合わせだけ長方形の置き方がありますから3×3=9通りです。

(2)二つに分けられない時

A B C D
E F G H
I J K L

BC,FGそれぞれを結んでみます。これは明らかに上には出てこない置き方です。
(長方形二つには分けられないので)
こうしてみると後はAE,DH,IJ,KLを選ぶしかありません。
同様にFG,JKとAB,CD,EI,HLの2通りしかありません

よって合計は9+2=11です。

補足

A B
E F
I J
についてなのですが
縦４横３の長方形を作る時
縦2横1の小長方形を並べて
A B E
F I J
と考えも構いませんか？

回答No.7

kkkk2222

貴殿のある問題に関与した者です。

この問題に手を出した理由は
（１）上記
（２）たかだか、６ブロックだから解けない事も、なさそう。
（３）虱潰解法だと、既出の４名様が、ＴＥＸＴだけを使って、どう表記されてるのか、興味があったこと。
（４）ＳＭＡＲＴな解答があるのかな。
（５）曖昧性
ーー
（５）　質問文が
　　　Ａ　：　長方形を回転させて同一のものを省く。
　　　Ｂ　：　このままの状態でＣＯＵＮＴする。
虱潰解法でやった所、Ａに該当するする形が５ＰＡＩＲあり、６通りでも可。しかし、nori_1様始め、４回答者様もＢを前提に・・・　
（４）　＃４様が該当するようですが、まだ解読・・・
（３）　今は、こちらの方に興味が移行しています。ご苦労なさっていますが、nori_1様が了解するためには、１１通り描く必要があり、巧い表記があれば再投稿させて頂きます。

ＰＳ（１）過去問題に言及するのは、規約違反ですので、一行だけ書きます。
Ｐで＜途中のＲ→Ａが抜けている。＞

回答No.6

age_momo

#3です。

長方形の置き方を文字で示してみました。あくまで縦3cm、横2cmの長方形に
対して1×2の長方形をどう置けるかを考えればいいのですから

Π：上を横において、下に縦置きで二つ
三：横置き三つ
Ц：上に縦置き二つと下に横置き一つを表しています。

3×2cmの長方形2個あればそれぞれが3通りずつですから
全部で3×3となります。

この条件から漏れているのが長方形2つに分けない置き方で下の回答に書いた
ように真中に横置き二つ、その両側を縦置きでそろえて、下(もしくは上)に
横置き二つを考えればいいです。

補足

Π：上を横において、下に縦置きで二つ
三：横置き三つ
Ц：上に縦置き二つと下に横置き一つを表しています。

はそれぞれはあと3つの長方形を入れることができますがそれはどうるのですか？
3×2cmの長方形2個あればそれぞれが3通りずつですから
全部で3×3となります

がよく分かりません

回答No.5

mirage70

2cmを上下に２個、横に1cmを３個、此で１個
左上の縦2cmを左より２個横に入れ替える、右上、右下、左下を２個入れ替える此で４個
次に２組の入れ替えです、一番最初のものより、
(右上、右下)、(右上、左下)(左上、左下)(左下、右下)を２個ずつ縦横を同様に入れ替えます、此で４個
次に、(右上、右下)の入れ替えたもののみぎの真ん中２個のものを縦横入れ替えます、
(左上、左下)の入れ替えたものの左の真ん中の２個を縦横を入れ替えます。此で２個。
計１１個となります。

回答No.4

age_momo

少し書きにくいので横4cm、縦3cmで書きます。
これが左右3×2　2つに分かれる時はそれぞれは

Π、三、Ц　　　の三通りの組み合わせなので

3×3=9

また、左右に分けられない場合の

|＝|
- -

その逆の

- -
|＝|

2通りを足して11通りですね。

補足

Π、三、Цと- -- -
|＝|はどんな図なのでしょうか？

回答No.3

kz_line

1です

┌-┐┌―┐
｜ ｜└―┘
└-┘┌―┐
┌-┐└―┘
｜ ｜┌―┐
└-┘└―┘
これミスです　右側に四角が一個足りませんので

┌-┐┌―┐
｜ ｜└―┘
└-┘┌―┐
　　 └―┘
┌-┐┌―┐
｜ ｜└―┘
└-┘┌―┐
　 　└―┘
ちょっとみづらいですがこれで１通りはできたと思います

そしたら縦にならんだ（左側の）四角２個と、縦にならんだ（右側の）四角４個の位置を左右でいれかえると
┌―┐┌－┐
└―┘｜　｜
┌―┐└－┘
└―┘
┌―┐┌―┐
└―┘｜　｜
┌―┐└－┘
└―┘
　これで２通り。他の長方形のできかたも左右か上下をいれかえれば２通りになるとおもうので１１通りできるはずです

お礼

何回も回答していただいてどうもありがとうございました。
いろいろな考えがあるんですね。
助かりました

回答No.2

kz_line

1です
すみません
(2)の四角一個足りませんね
□■■
□○○
△☆☆
△▲▲

このように

わかりづらいかな。。。

補足

下の方が分かりやすいような気がします。

回答No.1

kz_line

┌-┐
｜ ｜
└-┘　これを縦2cm、横1cmの長方形だとして
(1)
┌-┐┌-┐┌-┐
｜ ｜｜ ｜｜ ｜
└-┘└-┘└-┘
┌-┐┌-┐┌-┐
｜ ｜｜ ｜｜ ｜
└-┘└-┘└-┘　　　これで縦4cm、横3cm（大きさへんなのはきにしないでください
(2)
┌-┐┌―┐
｜ ｜└―┘
└-┘┌―┐
┌-┐└―┘
｜ ｜┌―┐
└-┘└―┘　これは上下は対称ですが、左右は対称ではないので3つの四角が左側にくるのも考え2通り分

多分ほかのも上下か左右をひっくり返せば5通り×2で10通り、さらに左右と上下が対称なものもあるので（(1)のように）+1通りで全部で11通り　ということだと思います

あってるかな

補足

┌-┐┌(2)―┐
｜(1) └―┘
└-┘┌―┐
┌-┐└(3)―┘
｜(4) ┌(5)―┐
└-┘└―┘
として番号をふると
どのようにかんがえるのですか？
5通り×2で10通りが把握できなくて