Continuous rateって何?

質問

アメリカの大学に通っているものです。
Calculusの授業で、"continuous rate"という用語が出てきたのですが、
いったいどういう意味なのでしょうか?

この言葉が出てきた問題文はこうです↓

A cup of coffee contains 100 mg of caffeine,
which leaves the body at a continuous rate of 17% per hour.
Write a formula for the amount, A mg, of caffeine in the body
t hours after drinking a cup of coffee.

(訳)コーヒー一杯が100mgのカフェインを含んでおり、一時間にcontinuous rate17％が体から出ていく。
一杯飲んだ後、経過した時間をt時間、体内のカフェインをAmgとして式をたてよ。

ちなみに答えは

A = 100 ×　e^(-0.17t)

となるそうです。
なぜこうなるのかさっぱりわかりません。

先生に聞きに言っても何だか要領を得ませんでした。
高校１、２年のレベルでお答えいただけたら嬉しいです。
(数三、Cを日本で取らなかったためです)

回答No.7

larme001

periodically compounded という場合、一時間おきに、一日おきに、一ヶ月おきにそのときの値の17%が出ていくということです。ここでは、一時間当たりt回compoundするとすれば、
P=P。（1-0.17/t)^kt 　　　P=k時間後の値
これは、ある一定期間が過ぎると、その時に値にcompounded されるという意味で分かるとおもいます。

しかし、その値が、継続的にcompoundedの場合、一定期間では17%減少する量で減っていても、そのすぐ微小時間後には、その減った値から0.17倍減る、、、とcontinuously compoundedとなるので、上と同様には計算できない。ここで、極限を用いて、この一時間あたり∞回compoundedされると考えて（厳密には、極値をとるのですが）

P=lim(t→∞）(1+(-0.17/t))^kt
=lim(()→∞）{(1+1/())^()}^-0.17k　()=t/-0.17で、t→∞のとき()→∞より、
=e^(-0.17kt) k時間後
となる。
=eになる極限の証明は、calculusのテキストにも書いてあるでしょう。

一般的に単位時間あたり、n回,r倍にcompoundされるものがk単位時間後にcontinuously compounded された、値FVは
FV=(初期値）e^(rk)
でもとまる。これを公式として用いていいかわ分からないけど、大抵の教科書にそうなっていると思われる。

こう解けば、数三レベルで一応導けますね。

数三レベルを知らないからといって、逃げていないでcalculousを勉強しましょう。微分方程式っつてもそれほど難しいものではないですしね。

回答No.6

noname#210617

ANo.3さんとANo.4さんの答えがANo.1さんと合わないのは、1時間後、2時間後と、離散的に（等比級数）考えているからです。
"continuous rate"ですから、連続でなければなりません。
これは微分方程式でなければ解けません。
『習ってない』は通用しませんから、自分でカバーしなければなりませんね。

回答No.5

ojisan7

日本の高校１、２年のレベルで、アメリカの理科系の大学で大丈夫でしょうか？それはさておき、一時間にcontinuous rate17％ということは、ｔ時間後の体内のカフェインをAmgとしたとき、
dA/dt=-0.17A
となります。この式の意味は、体内のカフェインの単位時間あたりの減少率が、体内のカフェインの17％であることを示します。このような式は放射性物質の崩壊等、物理学・化学のさまざまな場面で登場します。放射性物質の崩壊の場合には、dA/dt=-λAとなりλは崩壊定数（単位時間に１つの粒子が崩壊する確率）となります。しかし、意味はカフェインの場合と同じですよね。
さて、dA/dt=-0.17Aを解かなければなりませんが,高校１、２年のレベルで解けるでしょうか？。たぶん、無理だと思いますので、丁寧に説明してあげましょう。式を変形すると、
dA/A=-0.17dt
となりますので、両辺を積分して、
lnA=-0.17t+const
したがって、
A=Ce^(-0.17t)
初期条件を代入してＣを求めます。最終結果は、
A=100×e^(-0.17t)
となります。
これで、理解できたでしょうか？

回答No.4

noname#40706

体の中に入ったカフェインが、体の外に排出されます。尿、汗、その他のかたちで。体内のカフェイン残留量が次第に少なくなります。

その割合が、１時間につき１７％である。という意味です。cntinuouslyに１時間につき１７％づつ減少している。ということです。

１時間で１７ｍｇづつではないですよ。はじめの１時間では１７ｍｇ、次の１時間では、８３ｍｇの１７％　つまり、約１４ｍｇ　減少です。

１００ｍｇ→１時間経過→８３ｍｇ→１時間経過→約６９ｍｇ（８３×０．８３）・・・・・・・

たとえばこのrateが５０％（１／２）だったら、

１→１／２→１／４→１／８・・・・・・・

というふうになります。

Ａ1　さんの　計算式の通りです。

Ａ３　さんの　計算方法の方がわかりやすいかも知れません。

ただし、100-100×17/100=93　ではなく、８３　ですので、

Ａ＝８３×（０．８３）＾（ｔ－１）　つまり、

Ａ＝１００×（１－０．１７）＾ｔ

です。

Ａ１　さんの式と違うように見えますが、かたちが違うだけで同じ式だと思います。

いずれにしても、高校時代「文系」だった人には少し難しいかも知れませんが、がんばってください。

回答No.3

bad-boys

直訳すれば「連続的な」ってことはわかりますよね？
つまり「不連続ではなく連続的な割合で」ということです。
数学っぽく言うと「連続関数である（途中でグラフが途切れない）（ちなみに今回は滑らかな曲線グラフ）」ということです（数３Ｃ）。
３Ｃを取っていなかったということは「自然対数e」を知らないということでしょうか？となるとかなり説明がきついですがやってみます。
簡単に考えてみましょう（漸化式を用いた解法）。
まず１時間後の体内のカフェインは100-100×17/100=93
次に２時間後の体内のカフェインは93-93×17/100=
・・・・
ここでt時間後体内のカフェインをA(t)とおくと
t+1時間後の体内のカフェインは
A(t+1)=A(t)-A(t)×17/100
A(t+1)=83/100A(t)
初項A(1)=93、公比83/100の等比数列より
A(t)=A(1)×（83/100）^（t-1）
よってA=93×（83/100）^（t-1）
あれれ、あなたの回答と違いますねえ（汗）。

回答No.2

noname#101087

>"continuous rate"
これ、金融用語にあります。
数学的モデルとしては、ご質問のものと同じものでしょう。
「連続利子率」で検索して、判りそうなのを選んでください。
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現実には存在するものじゃありませんが、複利というものの怖さを図表などに表示するのに使われたりします。
>通常利子は単位期間（ 例えば年） ごとに計算され、複利計算(Compounding)の場合には単位期間ごとに利子を元本に加算
>する。連続複利とは単位期間を無限に細かくしていった時の極限である。
下記ページの、(3)　極限での利子率 に数式があり、指数関数が現れます。
　http://www.kyoto-su.ac.jp/~yamadaka/data/yscp-finance.htm

回答No.1

water-cooled

微分方程式
dA/dt=-0.17A
を解くことになります。これはAの単位時間当たり変化量が、Aの量に比例するということで、
たとえば100人の人々が毎年10%ずつ死んでいくみたいな場合にも現われるよくある関係式です（放射性物質なども同じ）。

1/A dA=-0.17 dt
と変形して、両辺積分。
ln A = -0.17t + C
A=C e^(-0.17t)
t=0ときにA=100を代入するとC=100ときまり、
A=100e^(-0.17t)
となります。