曲面の面積

質問

曲面S: cos(πx/2)+cos(πy/2)+cos(πz/2)=0 の面積を 0<=x<=1, 0<=y<=1 で求めたいと思います。
∬zdxdy で計算しようとしましたが、積分の公式が分かりません。
すみませんがアドバイスをお願いします。
（文字が化けていたらごめんなさい。π：円周率、∬：二重積分記号です）

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

0≦x≦1,0≦y≦1 だから 1≧cos(πx/2)≧0, 1≧cos(πy/2)≧0
ですね。そして、追加された条件によれば
-1≦z≦0　だから０≦cos(πz/2)≦1　です。ゆえに、
cos(πx/2)+cos(πy/2)+cos(πz/2)=0
を満たすx,y,zは
x=1, y=1, z=-1
だけであり、これは曲面にならない。一個の点です。ゆえに面積は０。

補足

条件の間違いでした。度々すみません。_(..)_
1≦z≦2 が正しい範囲です。
~~~~~~~
(x,y,z)=(1,1,1),(0,1,2),(1,0,2) を頂点とする曲面三角形の面積です。
曲面S を 0≦x≦2, 0≦y≦2, 0≦z≦2 で切り取った、曲面六角形の 1/6 になります。
これで求まるでしょうか。

回答No.1

stomachman

> 曲面S: cos(πx/2)+cos(πy/2)+cos(πz/2)=0 の面積を 0<=x<=1, 0<=y<=1 で求めたい

？１：曲面の表面積を求めるんでしょうか、それとも二重積分∬zdxdy を使おうっていうことなら、この曲面と例えばx-y平面で囲まれる体積を求めるんんでしょうか？

？２：0≦x≦1,0≦y≦1 だから 1≧cos(πx/2)≧0, 1≧cos(πy/2)≧0です。
従ってx,yを適当に与えると、
　-cos(πz/2) = c ここに0≦c≦2
という方程式がえられ、c＞1の時には実数解がない。1＞c≧0の時には　zとして無限個の解があります。だから、これだけの条件だと曲面の表面積は無限大、曲面とx-y平面で囲まれる体積は定義のしようもありません。何か条件が抜けているのでは？

補足

！１：曲面の表面積を求めるのが目的です。二重積分は体積になりますね。すみません。間違いでした。
！２：条件が抜けていました。-1<=z<=0 を加えてお願いします。
他にも不足などありましたら、ご指摘ください。