片持ち梁の固有振動数

質問

片持ち梁の表す式として、一般的なf=(1.875/L)^2/2π√EI/ρA(1次モード）と、先端負荷荷重mのある場合のf=(1/2π)√{EI/(ρAl/3+m)l^3}があります。後者の先端負荷荷重m=0とした場合は前者の式と一致するはずでは？と思ったのですが、実際には一致しません。どなたかその理由を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

inara

ANo.1です。
>先端荷重のある場合の固有値決定式の解λL、あるいは固有振動数ｆがもし載っておりましたら

先端荷重のある場合、μ（先端荷重と梁質量の比）が分からないとλLを計算できません。μによって値が変わるので、テキストには値は出ていません。Excelのソルバーを使えば簡単に計算できますよ。これはiyiyim10さんの実験レポートだと思われますので、残念ながら私が計算してあげるわけにはいきません。

>理論値と実験での値が合いません

計算間違いの可能性もあるので、iyiyim10さんのデータを出して頂ければどこがおかしいか指摘できると思います。梁のサイズは分かっているので、残りのデータは以下の項目でお願いします。

・共振周波数の実験値（荷重ありなしの２つ）
・共振周波数の計算値（荷重なし）--- 荷重ありの値はまだ計算できていないと思いますので
・計算に使ったアルミの密度[g/cm^3 または kg/m^3]
・計算に使ったアルミのヤング率 [Pa]
・先端荷重 [g またはkg]

回答No.1

inara

手持ちのテキストによると、

(1)先端加重のない片持ち梁
固有値決定式 1+cos(λL)*cosh(λL)=0
λ1*L=1,875→ω1=λ1^2*√(EI/ρA)→(1.875/L)^2*√(EI/ρA)

(2)先端に加重がある場合
固有値決定式　μ*λ*L=[1+cos(λL)*cosh(λL)]/[sin(λL)*cosh(λL)-cos(λL)*sinh(λL)]
μ=m/(ρAL)

ですので、加重なしのとき（μ=0）、固有値方程式は一致します。

参考文献：谷口修著、（改訂）振動工学（標準機械工学講座5、コロナ社）

補足

アドバイスありがとうございます。
手持ちの本では先端荷重のある場合の例が載っていなく、
助かりました。

先端荷重のある場合の固有値決定式の解λL、あるいは固有振動数ｆがもし載っておりましたら、そちらもお願いしたいです。

実際に先端荷重なしの一様アルミ平板(d=0.02m,L=0.23m,h=0.002m)の片持ち梁で固有振動数を出しているのですが、理論値と実験での値が合いません（理論値計算では荷重なし片持ち梁の1次モードを計算しました）。実験などをしてた方でわかる方、合わない原因が予想つく方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。