集合と位相の問題について

質問

• 集合と位相に関する問題について、その理解の難しさと解答方法を解説します。
• 集合族に対する包含関係の証明と等号成立条件について説明します。
• 実数の開区間に関する等号成立条件の証明と、参考書の紹介も行います。

回答No.4

zzzzzz

・有限個の閉集合(closed set)の和はまたclosedである。
・無限個のclosed setの和はclosedになるとは限らない
ここまではＯＫだと思います。

Ｕ[1/n,1-1/n] = (0,1)についてですが、
n=3,4,...とすると、cl(A_3)=[1/3,2/3], cl(A_4)=[1/4,3/4], ...
となるのが分かります。
このとき、cl(A_n)の両端の点が、0および1に近づいていく、
ということが分かりますが、ここから、Ｕcl(A_n)が
(0,1), [0,1], (0,1], [0,1)
のどれかではないか、という予想が立てられます。
（あくまで予想ですので、「近づくから」等と答案に書けば×になります）
ここで、左端の0への近づき方、および右端の1への近づき方は
対称ですので、多分(0,1]や[0,1)ではないだろう、ということも思いつきます。
なので、あとはＵ[1/n,1-1/n]が0(or 1)を含むかどうか、を考えればよいことになります。
ここで、数直線上にA_3, A_4, ...を書いてにらめっこすると、
cl(A_n)の左端は0にどんどん近づきはするが(lim(1/n)=0)、決して0にはたどり着かない(1/n>0)ことが分かります。
なので、0は含まず、Ｕ[1/n,1-1/n]=(0,1)だろう、という予想が立ちます。

ここで、定義から、x∈Ｕ[1/n,1-1/n]と、あるmがあってx∈[1/m,1-1/m]が同値であることに注意してください。
従って、無限和といえども、Ｕ[1/n,1-1/n]が、[1/n,1-1/n]たちの覆う範囲を超えて理不尽に大きくなることはありません。
なので、どの[1/n,1-1/n]にも含まれない点は、Ｕ[1/n,1-1/n]にも含まれません。

「和がclosedとは限らない」例が思いつきにくい場合には、「ものすごく大きい」和を考えれば簡単にできます。
例：I=(0,1)とすると、I=Ｕ_x∈I {x}
この例の類似物を考えれば、Rではどんな集合でも閉集合の無限和で書ける、とすら言えます。

ハウスドルフ空間を考える際には、図を描くのは有効な場合が多いです。
（非ハウスドルフ空間の場合は逆におすすめしません）

最後に、これに類似した問題を挙げておきます。
[問]B_n=(-1/n, 1+1/n)とする。∩B_n=[0,1]を理解し、証明せよ。

補足

直感的に任意個数の閉集合の積集合は閉集合になるという性質から[０，１]になりそうである。また、（－１，２）（－１／２，２／３）・・・（－１／１００，１＋１／１００）・・・からもこれらの共通部分をとると、［０，１］になりそうな予想はつく。
明らかに、任意の自然数ｎに対して、［０，１］⊂（－１，１＋１／ｎ）である。
任意のｘ；ｘ∈ＵB_nとすると、任意の自然数ｎに対してｘ∈（－１／ｎ，１＋１／ｎ）、すなわち、－１／ｎ＜ｘ＜１＋１／ｎ。(ｎ：任意の自然数）ここで、ｘ＜０とすると、－１／ｘ＜ｎ。なるｎ。∈Ｎが存在する。しかしこれは－１／ｎ＜ｘ似矛盾。さらに、ｘ＞１とするとｘ－１＞１／ｎ．なるｎ．∈Ｎが存在する。しかしこれはｘ＜１＋１／ｎに矛盾。故に０≦ｘ≦１．
どうでしょうか？？
あとですね、いまいち例えがわからなかったんですが、よかったらおねがします。