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集合と位相の問題について
zzzzzzの回答
混乱の恐れがないため、∪_λ∈Λを単に∪と書くことにします。 また、Aの閉包(closure)を、cl(A)とここでは表記します。 [Lemma]A⊆Bならばcl(A)⊆cl(B) まず、これを証明します。 （証明１） K=cl(A)∩cl(B)とすると、Kは閉集合で、K⊆cl(A)を満たしている。 いま、A⊆cl(A)かつA⊆B⊆cl(B)ゆえ、A⊆Kである。 従って閉包の最小性からcl(A)⊆Kが成立する。 以上からK=cl(A)が分かる。従って、Kの定義よりcl(A)⊆cl(B)。 （証明２） Kuratowskiの公理より、cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)。従ってA⊆Bより cl(B)=cl(A∪B)=cl(A)∪cl(B)。これより明らかにcl(A)⊆cl(B)。 (1) 定義より、任意のx∈∪cl(A_λ)に対し、あるμがあってx∈cl(A_μ)となっています。 明らかにA_μ⊆∪A_λですから、Lemmaより cl(A_μ)⊆cl(∪A_λ) となります。従ってx∈cl(∪A_λ)です。以上から ∪cl(A_λ)⊆cl(∪A_λ) ∪cl(A_λ)⊇∪A_λが成り立つことに注意します。 題意の包含関係がありますので、等号成立⇔逆の包含関係が成立、ということになります。 従って、∪cl(A_λ)が閉集合の時、Lemmaより ∪cl(A_λ) = cl(∪cl(A_λ)) ⊇ cl(∪A_λ) が示せますので等号が成立します。 逆に、等号成立、つまり ∪cl(A_λ) ⊇ cl(∪A_λ) が成り立っているとき、Lemmaより cl(∪cl(A_λ)) ⊆ cl(cl(∪A_λ)) = cl(∪A_λ) ⊆ ∪cl(A_λ) となりますから、cl(∪cl(A_λ)) = ∪cl(A_λ)が分かります。 （逆の包含関係は明らか） この等式の左辺は明らかに閉集合ですから、∪cl(A_λ)も閉集合となります。 (2) お考えの通り、∪cl(A_n)が閉集合にならないことを示せばＯＫです。 これにはいくつかの方法が考えられますが、最も初等的なものを挙げておきます。 いま、A_n=(1/n, 1-1/n)より、cl(A_n)=[1/n, 1-1/n]です。 このとき、∪[1/n, 1-1/n] = (0,1)が成立します。 （⊆は明らか。⊇はアルキメデスの原理を使う） これは閉集合ではありませんから、証明が終わります。 という感じでいかがでしょうか。 個人的には、位相の学習は、 ・問題を解くこと ・位相的性質が実際にどのように使われるかを知ること が大切だと思います。 演習書を１つ挙げておきます。 「集合・位相演習」、篠田寿一／米澤佳己、サイエンス社
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