集合と位相の問題について

質問

• 集合と位相に関する問題について、その理解の難しさと解答方法を解説します。
• 集合族に対する包含関係の証明と等号成立条件について説明します。
• 実数の開区間に関する等号成立条件の証明と、参考書の紹介も行います。

回答No.3

zzzzzz

#1です。
Ｕ[1/n,1-1/n] = (0,1)の証明を書いておきます。

各nについて[1/n,1-1/n] ⊆ (0,1)は明らかなので、
Ｕ[1/n,1-1/n] ⊆ (0,1)はすぐに分かります。
従って、逆の包含関係を示せばＯＫです。
いま、任意のx∈(0,1)を考えます。

1)x<1/2のとき
アルキメデスの公理より、1/x<nをみたす自然数nが存在します。
x>0ですから、これより1/n<xが分かります。
これと、x<1/2よりx∈[1/n,1-1/n]です。

2)x=1/2のとき
x∈A_3=[1/3, 2/3]です。

3)x>1/2のとき
0<1-x<1/2ですから、1)と同様にして1-x∈[1/n,1-1/n]です。
これよりx∈[1/n,1-1/n]が分かります。

以上より、任意のx∈(0,1)に対してx∈Ｕ[1/n,1-1/n]ですから、
Ｕ[1/n,1-1/n] ⊇ (0,1)
が分かりました。

証明は分からなくても、事実として
Ｕ[1/n,1-1/n] = (0,1)
が成り立つだろう、という予想は浮かばないと厳しいと思いますが。
図を描いてみるのも１つの手です。
証明３の前半も参考にしてください。

以下、(2)の別証明を書いておきます。
但し、位相に関してのある程度の知識を仮定しての証明です。

[証明２]
K=Ｕ[1/n,1-1/n]が閉集合と仮定する。
明らかにK⊆[0,1]、特に有界ゆえ、これはコンパクト集合。
従って点列コンパクトであるが、今、Kの点列x_n=1/nに対し、
x_nの収束先x=0はKに含まれない。
（任意のnについて0は[1/n,1-1/n]に含まれないため）
従って点列コンパクト性に反し、矛盾である。
（Rはハウスドルフ空間ゆえ、部分列の収束先はx以外にあり得ない）

[証明３]
K=Ｕ[1/n,1-1/n]=Ｕcl(A_n)とする。
このとき、K=ＵA_nであることを示す。
A_n⊆cl(A_n)より、ＵA_n⊆Kは明らか。
また、各nに対して
cl(A_n)=[1/n,1-1/n]⊆[1/(n+1), 1-1/(n+1)]=A_{n+1}
だから、cl(A_n)⊆ＵA_n。これよりK⊆ＵA_n。
従ってK=ＵA_nが成り立つ。特に、Kは開集合である。
（注：だからといって閉集合でない、とは必ずしも言えない）
いま、Kが閉集合だと仮定すると、Kは空でない開かつ閉集合。
R（実数全体＋通常の位相）は連結ゆえ、これはK=Rを意味するが、
これは明らかに成り立たず、矛盾である。

補足

どうも親切な回答解説をありがとうございました。え～っとですね、なんでＵ［１／ｎ、１－１／ｎ］という閉区間の和集合が（０，１）の開区間になるのかわかりません。確かに定理としては有限個ならその閉区間の和集合は閉集合であると書かれていますが。厳密な証明ではなくて直感的にわかるにはどうしたらいいのでしょうか？ここが分かるか分からないかは結構大きいような気がしますので、どうか説明を御願いします。