正三角形について

質問

普通、「正A角形」といえば、A本の辺の長さが全て等しくて、かつA個の内角の大きさが全て等しい図形を指します。

しかし、「正三角形」は、「3つの辺の長さが全て等しい三角形」、あるいは「3つの内角の大きさが全て等しい三角形」のどちらかで定義されます。
四角形以上はすべての辺の長さが等しくても内角の大きさが違っていたり、逆に全ての内角の大きさが等しくても辺の長さが違っていたりします。

「3つの辺の長さが全て等しいが、内角の大きさが異なる三角形」や、「3つの内角の大きさが全て等しいが、辺の長さが異なる三角形」は、なぜ作れないのでしょうか？

回答No.4

monjo · ベストアンサー

３です。
最後、なんで正方形について語ってるんでしょうか・・・・
完全に寝ぼけてました。orz

角度が同じで辺が異なる多角形ということで、
点A(0,0)、B(r,0)
点Cは直線x=0上、点Dは直線x=r上の点で
C,Dを結ぶ直線CDがx=0、x=rと直角に交わる為には
直線CD：y=なんでもオーケ・・・以下略。（グハッ

お礼

ありがとうございました。

先ほどは四角形の場合だったのですね…
まあ、少しは証明にはなると思いますが…

回答No.3

monjo

つたない知識で、やっつけで証明してみました。
が、証明になっているかどうかは自信ありません。
参考程度にどぞ。

まず、「3つの辺の長さが全て等しいが、内角の大きさが異なる三角形」については、

一辺の長さがｒの正三角形△ABCを座標上で考えます。
X軸上の点A（0,0）、B（r,0)を一辺とすると、点Cは点Aを中心とする半径ｒの円Aと点Bを中心とする半径ｒの円Bの交点になります。
よって、二つの円の交点は、
円A:r^2=(x-0)^2+(y-0)^2
円B:r^2=(x-r)^2+(y-0)^2
x=r/2

xがr/2の時のyの値は、
r^2=(r/2)^2+y^2
y=±(√3)r/2
の2解となります。

点Cの範囲を、yが負の部分については、X軸を軸に対称な形になるので、0≦yとすると、
点C（r/2, (√3)r/2)
となり、条件を満たす点Cは一点しか存在しません。
故に三辺が等しい場合、常に内角は一定となります。
（円Bの半径が違う場合でも同様）

一方、四角形では、上記同様に円A、円Bを考えた時、
円A上の点Dを中心とする半径rの円Dが円Bと交点を持つ時４辺の長さが同じ長方形を形成しますが、この条件を満たす点Dは特定の範囲の中で無数に存在する為、内角は一定になりません。

次に、3つの内角の大きさが全て等しいが、辺の長さが異なる三角形」については、
三角関数で証明しても良いのかもしれませんが、上記で座標を使ったので、こちらも座標で・・・

上記同様、∠A=∠B＝∠C=60゜の三角形△ABC、
X軸上の点A（0,0）、B（r,0)を一辺とすると
直線ACを表す式は、
y=√3x
直線BCを表す式は、
y=-√3x+√3r
点Cは直線AC,BCの交点。
よって、条件を満たす点は1点しか存在せず、
点Cの座標は、
√3x=-√3x+√3r
x=r/2、
y=√3r/2
点C（r/2、√3r/2)
点A点C、点B点Cそれぞれの二点間の距離は、
(r/2-0)^2+(√3r/2-0)^2
AC=√{(r/2-0)^2+(√3r/2-0)^2)}=r
BC=√{(r/2-r)^2+(√3r/2-0)^2)}=r
よって、AB=AC=BC=r

一辺の長さがｒの正方形□ABCDを座標上で考えます。
点Aを(0,0)とすると、点B（r,0)、点D(0,r)、点C(r、r)となります。
これを満たす点Cはy=x上の任意の点となり、無数に存在します。

このように、三角形の場合、条件を満たす点が1点しか存在しない為、ということで証明になります？？？

お礼

詳しく証明していただき、ありがとうございました。

座標を使うと、条件を満たす点は1つのみということがわかることで、証明になるのですね。

回答No.2

noname#101292

なぜ、というのは、どういう切り口からの回答を
望まれているのでしょうか。
数学的な、証明の問題でしょうか。

例えば、実際に色々な長さの棒を用意して、
「長さが違うと内角が変わってしまう。
長さが同じ棒３本でつくる限り、内角を違える事はできない」
と、そういう三角形を現実につくれない事を感じるという事では
質問者様は納得がいかないのですよね？

お礼

ご指摘ありがとうございました。

＞「長さが違うと内角が変わってしまう。
長さが同じ棒３本でつくる限り、内角を違える事はできない」
と、そういう三角形を現実につくれない事を感じるという事では
質問者様は納得がいかないのですよね？

そういうつもりではありません。
ただ、そういう印象を与えてしまったことは、失礼いたしました。

回答No.1

tatsumi01

三角形だからです。

二等辺三角形では、底角が等しいことが証明できます。正三角形では、二つづつの辺が等しいので、全ての二つの底角が等しくなって、全て（３個）の内角が等しくなります。

内角が等しい三角形でも、全ての二辺が等しいので三辺が等しくなります。

お礼

ありがとうございました。
なんとなくですが、分かりました。