逆関数を用いた問題

質問

次の値を求めよ
√i
解答・・・±(1/√2)(1+i)
逆関数を使うようなのですが・・・何がなんだかサッパリです

すぐ手前の例題に、
w=z^2の逆関数を求めよ
zとwを交換すると　z=w^2
z=0のときw^2 = 0より　w=0
z≠0のとき、極形式を用いてz=r(e^(iθ)) (r>0)とおくと
w^2 = r(e^(iθ))　= {(√r)e^(i*θ/2)}^2
よってw=±√r(e^(i*θ/2))

したがって、w=z^2の逆関数をw=√zで表すと、
|z|=r≧0、argz=θ　とおくとき
√z=±√r(e^(i*θ/2)) = ±√r(cos(θ/2) + isin(θ/2))

というものがありました
・・・が、結局逆関数を使うと何を求められるのかがわかりません
試しに真似て計算してみたところ、

w=(√i)^2
wとiを交換すると　i=w^2
i=u+viとおくと
w^2=u+vi=(√(u+vi))^2
w=±√(u+vi)

よってw=(√i)^2の逆関数をw=√iで表すと
√i=±√(u+vi)
となりましたが・・・1/√2などは何処から出てくるのかorz
ご教授、お願いします

回答No.2

gatch_ky · ベストアンサー

iの極座標形式は
i=e^(π/2)*i
だよ。

お礼

回答、ありがとうございます
最初からz=w^2 と置けばいいような気もしてきました
逆関数を使う意味って一体・・・

補足

とりあえずとりあえずw=i^2　から逆関数で　i=w^2　とし、
i=e^((π/2)*i)として解けました

逆関数を使う意味がわかりません・・・

回答No.3

gatch_ky

逆関数を使うんじゃなくて、
前の例題の結果を使う問題なんだよ。

お礼

なんだってー！
確かにあてはめたら一発でした・・・

回答No.1

m0r1_2006

z^2 = i
を求めよ．なので， z を極座標で，
z = r exp(i theta)　　，r>0 0<= theta< 2pi 実数
と置く．
z^2 = r^2 exp(i 2 theta) = i
なので， i を複素平面で極座標表示すると
i = 1 exp(i pi/2)
よって，
r^2 = 1 => r>0 より r=1
2 theta = pi/2 + 2 n pi, n は整数
から，
theta = pi/4 + n pi

z = 1 exp(i pi/4) または 1 exp(i (pi/4+pi))
です．

ところで，逆関数を使うってどこ？

補足

回答、有難うございます
たしかに逆関数を使う意味がサッパリです・・うーん