tanに関する質問

質問

tanθ＝y/x から tan^{-1} y/x=θ　を証明できるのでしょうか。できるのであれば、その過程もおしえていただけるとありがたいです。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ymmasayan さんの明確な回答がありますので，蛇足です．

tanθ = u のとき，逆に θ= tan^(-1)u と書くのが tan^(-1) という関数の
定義です．
tan の値がわかっているとして，もとの角度は？，という思想ですね．
θ= arctan u という書き方もあります．

tan(π/6) = 1/√3，
これを逆に書いたのが tan^(-1){1/√3}=π/6 です．

なお，三角関数では，本来 (tanθ)^2 と書くべきところを，
tan^2 θのように書く習慣があるのはご承知の通りです．
このような表記は２のところが正数の場合に限ります(通常，自然数のようですが)．
同じ理屈だと，tan^(-1)θ は 1/tanθ になりそうですが，
そうではありませんのでご注意下さい．
puripuritty さんの
> 証明できるのでしょうか。
を見ると，もしかして誤解されているのではないかとちょっと心配になりました．

なお，ymmasayan さんの注意も重要で，tanθのグラフを思い出せばわかりますように，
πの整数倍だけθをずらしても tanθの値は同じになります．
tan(π/6) = tan{(π/6)+π} = tan{(π/6)+2π} = ．．．．
です．
したがって，tanθの値がわかっても対応するθは無数にあります．
通常は -π/2＜θ≦π/2 にθを限定して，これを主値と呼んでいます．
主値をとることを強調するために Tan^(-1) や Arctan と頭を大文字にすることもあります．
tan^(-1) や arctan でも主値を取ることを意味していることもあります．

お礼

とてもわかりやすい解説、ありがとうございました。
とある問題の解説で、tanθ = u の式の後に、θ= tan^(-1)uという式が
書いてあったんです。
逆三角関数の薄れた記憶をたどっても思い出せず、
その２式の間が省略されているのかも・・・
という考えもあったりして、この質問に至ったという経緯です。
　その問題自体は、数学分野のものではないので、難しいものではないのですが
こだわってみた　という次第です。
文系でもわかる解説、大変感謝してます。
　またの機会がありましたら、よろしくお願いいたします。

回答No.1

ymmasayan

これはそういう風に定義しているものなので証明できるものではありません。
蛇足ですが、気をつけないといけないのはｔａｎθ＝ｔａｎ（ｎπ＋θ）が沢山存在する事です。

お礼

簡潔な回答、ありがとうございました。
　蛇足に関しては、理解できそうにありませんが、
現在の問題には直接関係なさそうなので、今回はお手上げということで。
　また機会がありましたら、よろしくお願いいたします。