円周上と円に内接する正六角形上を進む距離の問題

質問

数学の問題を解いているのですが、解き方がわかりません。
どのように解いたらいいのか教えてください。
また、この問題はどの分野を勉強すれば解ける問題ですか。
よろしくお願いいたします。

（問題）
座標平面上に原点Oを中心とする2cmの円と、
それに内接する正六角形ABCDEFがある。
点Pは点A（2,0）を出発して円周上を
反時計まわりに毎秒π/2（2分のパイ　πは円周率）cm　の速さで動く。
また、点Qは点Aを出発して正六角形上を時計周りに
毎秒2cmの速さで動く。点P、Qが同時に点Aを出発する。

（1）
出発してから初めて出会うまでの間で、２点P、Qの距離が
最も大きくなるのは出発後○秒後である。

（2）
出発してから初めて出会うまでの間で、QはPより○cm多く動く。

回答No.2

noname#21330 · ベストアンサー

2cmは半径？それで考えます。
まず、円周は４π cm
Pは8秒間で１週します。
Ｐが６角形の角から次の角へ移動する時間は、
8/6秒=4/3秒　－－－(1)

正６角形の６つの３角形は正三角形なので、１辺2ｃｍ
Ｑは、6秒間で1週。
Ｑが６角形の角から次の角へ移動する時間は１秒　－－－(2)

Ｐが012345の順に回るとし
Ｑが0543210の順に回るとします。
出発点は、0
出会う可能性や反対方向にある可能性があるのは、
６角形の角。
(2)よりＰとＱが角にあるのは整数秒後
(1)よりＰが整数秒に角にあるのは4秒後で角が３つ進む。
以下、４秒毎の位置は、
Ｐ　０－＞３－＞０－＞３－＞０ー＞３－＞０
Ｑ　０－＞２－＞４－＞０－＞２ー＞４ー＞０

（１）は１２秒後
（２）は２４秒後
距離は24*2-24*π/2

総合問題ですので、勉強範囲は、
距離と速度、図形、整数ですかね？

お礼

お答えいただきありがとうございました。
問題の文章が不明瞭で申し訳ございません。
2cmの円とういうのは、半径2cmの円でした。
とてもわかりやすく、納得できる回答でした。
勉強の範囲もお答えいただきありがとうございます。
改めて勉強しなおそうと思いました。

回答No.5

Quattro99

#3です。途中、公倍数とあるのは最小公倍数の間違いです。すみません。

おそらく、答えを聞けばそれほど難しい問題ではなかったと感じたのではないかと思います。最初のとっかかりがわからない、つまり、わからなかったのは「一番最初のとっかかりは『出会う場所は円と六角形の共有点である』にある」というところだったのではないでしょうか。もしそうなら、それは国語の問題だと思います。問題の文章がいったいどういうことを言っているのかがはっきりせず、何を考えていいのかわからなくなってしまったのではないでしょうか。

お礼

お答えいただきありがとうございます。
んー、国語の問題ですか。確かに国語は苦手ですね。
でもま、数学がんばりまーす。
ありがとうございました~

回答No.4

rom_exe

こんにちは ^^
　面白い問題ですね，論理的に考えることを求められている気がします．

　まず，点Pと点Qが初めて出会うのはいつか を考えることが必要じゃないかと思います．そこで，点Pと点Qが出会うために必要なことは・・・？ と考えます．そうすると，点Pは円周上を進みますが，点Qと出会うためには六角形と円との交点にいる必要があります．点Qも同様に，六角形を進みますが，円と六角形との交点にいる必要があります．
　六角形と円との交点は点A~Fですので，点Pと点Qが点A~Fにいるのはいつなのかな？ と考えます．それがわかると，そのとき点Pは点Aからどこに移動したのか，点Qは点Aからどこに移動したのか，も分かります．もしn秒後に点Pが点P'に，点Qは点Q'に移動したならば，次は，何秒後であればP'とQ'が一致するのかを考えれば，点Pと点Qが初めて出会う時間と場所がわかります．
　そこまでわかれば，あとは解けるんじゃないかな，と思います．がんばって下さい ^^

追記：文の意味がわかりにくかった場合には返答を頂ければ書き直します．

お礼

こんばんは ^^
お答えいただきありがとうございました。
みなさんの回答を総合して解くことができました。
応援いただきありがとうございます。
がんばります ^^

回答No.3

Quattro99

まず、初めて出会うのが何秒後なのかを考えます。
出会ったとき、点Qは円周上、つまり六角形の頂点にいます。なので、出会うのは整数秒後ということになります。
点Pは1秒で1/8周進みますから、整数秒後に六角形の頂点にくるのは4秒毎で、半周ずつ進んでいます。
従って出会うのは点AかDのどちらかです。
点Qが点A、点Dにくるのは3秒ごとです。
従って、点Pと点Qが両方とも点Aあるいは点Dにくるのは3と4の公倍数である12秒ごとです。
12秒後は点Pは点Dに、点Qは点Aに来ますから出会いません。さらに12秒後つまりスタートから24秒後に点Aで初めて出会うことがわかります。
(1)初めて出会うまでに2点が直径の両端にあるときがあれば、距離が最も大きくなっていることになり、それは12秒後にありました。
(2)24秒後ですから、あとは計算するだけです。

ややこしいので、何か勘違いしているかも知れません。

お礼

お答えいただきありがとうございました。
１秒後、２秒後といちいち図に書いていたので、
図がぐちゃぐちゃになり、わからなくなっていました。
公倍数という考え方で解ける問題ということが分かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

edomin

(1)
もっとも距離が大きくなるのは、直径の時です。
なので、二人の移動距離の合計がπ（円周の1/2）になる時間を計算すればＯＫ。
(2)
二人が最初に出会うのは、二人の移動距離の合計が２πになるときです。
このときの時間をまず計算し、その後各の移動距離を比較しましょう。

お礼

早々にお答えいただきありがとうございます。
もっとも距離が大きくなるのは直径であることに、まったく気づきませんでした。
ありがとうございました。