空間における三角形の面積は外積で求められない？

質問

平面における三角形の面積は、外積（平行四辺形の面積）を
２で割って求められました。
空間における三角形の面積を求めようと、外積を求め２で割っても
三角形の面積になりませんでした。
なぜなのでしょうか？

回答No.8

usatan2 · ベストアンサー

＞外積＝ベクトルなんでしょうか？
そうです！！　ここが、質問者さんが勘違いされていたところですね。
外積と呼ばずに「ベクトル積」と呼べ（覚えれ）ば、誤解しなかったですね。
これに対し、内積はスカラー積とも呼ばれています。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node63.html

回答No.7

usatan2

質問者の計算間違いです。
私が計算したらちゃんと√21になりましたけど。

ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)の外積は
（8,4,2)というベクトルです。

このベクトルの大きさ（すなわち面積）は
√(8*8 + 4*4 + 2*2) = 2√21
です。

お礼

外積＝ベクトルなんでしょうか？
なんだかこんがらがってきました。
どうもありがとうございました。

回答No.6

kabaokaba

そもそも「外積」を間違っています．
（高校レベルでの）ベクトルの外積というのは，
二つの空間ベクトルに対して，
それらと同時に直交するベクトルの一つを求める計算です．
平面ベクトルに対しては定義されません．

あなたがいってるのはむしろ「行列式」というものです．
a c
b d
という行列に対して，ad-bcを行列式といいますが，
平面ベクトル(a,b)，(c,d)によって作られる
平行四辺形の面積が|ad-bc|で表されるので
三角形の面積はその半分になります．

これの三次元版はこんな簡単なものではありませんし，
三次元の場合は「平行六面体」が相手になります．
つまり，三つの空間ベクトル(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)に対して
これらが作る平行六面体の体積は
行列
a d g
b e h
c f i
の行列式の絶対値です．更に，三次正方行列の行列式は
aei+dhc+gbf-gec-hfa-idbという複雑な形です．
＃もっと次元があがっても同じで，行列式の絶対値を
＃体積要素とかいうこともあります

補足

二次元でのA(a,b)、B(c,d)に対しての行列式
ad-bcの絶対値は平行四辺形の”面積”を表す。

三次元でのA(a,b,c),B(d,e,f)に対しての行列式
bf-ec+cd-fa+ae-dbの絶対値は平行六面体の”体積”を表す。

二次元の時は平行四辺形を半分にすれば三角形だから
三角形の面積が求まるが、三次元の時は行列式の絶対値は
体積を表すからそれを半分にしても立体がふたつに分割される
だけで三角形にならないから、面積など求められるわけもない。

・・・ということでよろしいでしょうか？そして私の間違いは、
”たまたま”2次元で通用することを3次元に持ち込んだことによる
とかんがえてよろしいでしょうか？

回答No.5

noname#101087

ちゃんと、外積の「絶対値」の半分を求めましたか？

AとBの外積の「絶対値」は、
　SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}　---　(A.B)はAとBの内積
に等しいはずなので、検算してみて。

補足

SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}=SQRT{5*17-1^2}=SQRT{84}
△ABC=1/2*SQRT{84}=√21
すごいです！できました！
でも、何故2次元の場合は行列（？）の絶対値を２で割ればよかったのに、
3次元の場合は行列（？）と外積の絶対値が全く関係ないのでしょうか？
（以下は2次元と3次元の違いを自分なりにまとめてみた結果です。）

【2次元】
A(a,b)、B(c,d)
内積　A・B＝(a,b)・(c,d)＝√（a^2+b^2）*√（c^2+d^2）*cosθ
外積　A×B＝(a,b)×(c,d)＝√（a^2+b^2）*√（c^2+d^2）*sinθ
外積の絶対値　|ad-bc|
行列？　ad-bc

【3次元】
A(a,b,c),B(d,e,f)
内積　A・B＝(a,b,c)・(d,e,f)＝√（a^2+b^2+c^2）*√（d^2+e^2+f^2）*cosθ
外積　A×B＝(a,b,c)×(d,e,f)＝√（a^2+b^2+c^2）*√（d^2+e^2+f^2）*sinθ
外積の絶対値　|bf-ec+cd-fa+ae-db|ではなく、SQRT{(A.A)(B.B)-(A.B)^2}
行列？　bf-ec+cd-fa+ae-db

回答No.4

kumoringo

三次元ベクトル二つの外積は、三次元ベクトルです。外積の定義、および外積と平行四辺形の面積の関係を確認しましょう。

お礼

実はこの質問をする前に、Googleで”外積”で検索してそのページの
検索結果全てに目を通しました。外積の定義も確認したのですが、
外積＝三角形の2倍という思い込みが強すぎて、ただの演算（？）という
ことに気づきませんでした。三角形の面積はあくまで副次的なものなんですね。
どうもありがとうございました。

回答No.3

tim-pow

２辺の長さを求めても駄目でしょう？
底辺×高さ÷２だもの

補足

よろしければもう少しわかりやすい説明を
していただけないでしょうか？
２辺の長さというのがよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.2

gg13

あなたの計算過程をお示しください。

補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
｜8-0+0+4+0+2｜=14　となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。

回答No.1

CHIPDALE77

実際の問題はどのようなものでしょうか？

補足

問題は次のようになります、
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,4)が与えられていて三角形の面積を求めよ、
というものです。
私は、ベクトルAB(-1,2,0)とベクトルAC(-1,0,4)から外積が、
｜8-0+0+4+0+2｜=14　となったので、2で割って7を答えとしましたが、
答えは√21でした。