有限積が指数関数に近似される

質問

文献を読んでいたところ、以下のような有限積を指数関数に近似できるとの記述があったのですが、どのようにして導き出されたのか分かりません。
((2^n-1)-(2^i-1))/((2^n-1)-i)
これのi=0からm-1までの積が、m<nのとき
1-exp(-2^(m-n))
と近似できると記述されていました。
ヒントのようなものでも構いません。よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

またstomachmanです。No.1へのコメントによれば、ご質問にある
((2^n-1)-(2^i-1))/((2^n-1)-i)
はカッコを外して
(2^n-2^i)/(2^n-i-1)
と書ける。つまり、仰るところの積とは、
X[i] = ((2^n) - (2^i)) / ((2^n)-i-1)
とすると
ΠX[i] (Πはi=0～m-1の積）
のことであると仰るわけですね。それでやると、以下のようになります：

　n≫m≫0とします。すると、(2^n)に比べて(i+1)なんて無視できますから、
X[i] ≒ ((2^n) - (2^i)) / (2^n) ＝ 1- (2^(i-n))
であり、
そして 0＜(2^(i-n))＜(2^(m-n))≪1だから
ln X[i] ≒ ln(1- (2^(i-n))) ≒ - (2^(i-n))
これを使って、
ln(ΠX[i]) ≒ -Σ(2^(i-n))　（Σはi=0～m-1の和）
＝ -(2^(-n))Σ(2^i)
＝ -(2^(-n))((2^m)-1)
＝ (2^(-n))-(2^(m-n))
さらに、 0＜(2^(-n))≪(2^(m-n)) だから
≒ -(2^(m-n))
となります。すなわち、
ΠX[i] ≒ exp(-(2^(m-n)))
です。

　以上から、
exp(-(2^(m-n))) ≒ ΠX[i]
と
1-exp(-(2^(m-n))) ≒ 2^(m-n) ≒ -ln(ΠX[i])
が言えます。けれど、どうもご質問のようにはなりません。

お礼

詳細な回答ありがとうございます。
納得しました。
また、元の文献を入手できたので
載っていた式を加工したところ
１－A（Aは私が質問した式）
となりstomachmanさんが疑っていたように
質問した式が誤っていることが分かりました。
私が読んだ文献が２つとも誤っていました。
質問の式が誤っていたにもかかわらず
ありがとうございました。

回答No.3

stomachman

またまたstomachmanです。
　ご質問の近似式を、念のため数値例でご確認ください。stomachmanの計算では、n=16, m=8　のとき、以下のようになりました。

ΠX[i] = 0.9967
exp(-(2^(m-n))) = 0.9961

1-exp(-(2^(m-n))) = 0.003898
2^(m-n) = 0.003906
-ln ΠX[i] = 0.003344

お礼

数値例ありがとうございます。
質問前に確認しておくべきことでしたが、
文献で示された結果と近似後の式を計算して
結果があっているので、引用された式が誤っているとは
思いもしませんでした。
まず、質問する前に数値を入れて引用された式が
妥当かどうかぐらいは確認するべきでした。
以後気をつけたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

n,mにテキトーに数値を入れてみると、あれれ？近い値に全然ならないじゃん。だいいち、分子にふたつある-1は互いに打ち消し合ってるから直ちに消せる。だったら何でこんな式を書くんだろう…って訳で、
この式、ホントですか？　写し間違いはないでしょうか？ カッコをケチったりしてません？

　誤植か写し間違いだったとすれば、おそらく、exp(x)とln(1+x)それぞれのマクローリン展開の１次までの項による近似
exp(x) ≒ １+x
ln(1+x) ≒ x
を使うだけで簡単に説明できる話じゃなかろうかと思います。特に
1-exp(-2^(m-n)) ≒ 2^(m-n)
ですから。

お礼

回答ありがとうございます。
元の式が別の文献参照（未入手）になっていて分からないのですが、
その文献を引用している別文献では
(2^n-2^i)/(2^n-i-1)
これのi=0からm-1までの積
という風に引用しているので誤植ではないようです。