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関数の有限性に関する問題です。
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5番は「具体的な密度関数は何か」という意味なんですが。 その情報がないと計算できないので。
Eを与える測度は何ですか？
b(x)がxについて有界であるとして考えてみましたが、簡単な反例が見つかりました。 n<mとして、 σ(x)=(E_nσ_1) (ただし、E_nをn行n列の単位行列,σ_1をn行m-n列の零行列) とすれば、σはリプシッツ条件をみたし、 x,y∈R^nに対して、 (y^T)σ(x)(σ(x)^T)y=(y^T)σ_0(x)((σ(x)_0)^T)y=(y^T)y=|y|^2 を満たします。 u(x)=(u_0(x),u_1(x))（u_0(x)∈R^n,u_1(x)∈R^(n-m)）として、 b(x)=σ(x)u(x)=(E_n)(u_0(x))+(σ_1)(u_1(x))=u_0(x) となり、u_1(x)が非有界になるようにしてもb(x)の有界性による制約を受けません。 何か根本的に条件がおかしいと思います。 ※ ちなみに、n=mでσが対称行列ならば、b(x)が有界という条件からu(x)が有界になります。 なぜなら、 C|u(x)|^2≦u(x)^Tσ(x)(σ(x)^T)u(x)=u(x)^T(σ(x)^T)σ(x)u(x)=(b(x)^T)b(x)=|b(x)|^2 だからです。 「uが有限である」ことは本当にuがxについて有界であることとしていいのでしょうか？ 実は有界変動とか作用素としての有界など、別の意味だったりしませんか？
補足
ご指摘ありがとうございます。 より読み込んでみたところ、有限というのは E[exp(1/2∫^T_0 |u|^2(s,ω)ds)] が有界であるということのようです。 exp(1/2∫^T_0 |u|^2(s,ω)ds)が有界であることが言えれば良いようです。 また E[∫^T_0 |u|^2(s,ω)ds)]が有界であるという仮定も出てきました。 Eは確率論による期待値です。質問の分野が変わってしまい申し訳ありません。
2番の補足を追加してみても、残念ながら反例があります。 m=n=2とし、 x=(x_1,x_2)^Tなどと表すとします。 b(x)=(x_2,x_1)^T σ(x)を、(1,1)成分が1+e^(-(x_1)^2)、(2,2)成分が1+e^(-(x_2)^2)、(1,2)成分＝(2,1)成分が0であるような行列 u(x)=((x_2)/(1+e^(-(x_1)^2),(x_1)/(1+e^(-(x_2)^2))^T としたとき、 |σ(x)-σ(y)|≦(√2)e^(-2)|x-y| (y^T)σ(x)((σ(x))^T)y≧|y|^2 となりますが、u((0,x_2)^T)=(x_2,0)^Tとなってuは非有界です。 何か条件が抜けているか、条件のどこかが間違っていると思います。
補足
ご丁寧にありがとうございます。 原本もかなりアバウトに書かれており、数学専攻ではないため困っています。 逆にuが有界となるために必要な条件はなんでしょうか？ 例えばbを有界としたらいかがでしょうか？
> |u|^2＜Ｃ、但しＣはある定数 これは、|・|をユークリッドノルムとして「∃C>0,∀x∈R^n,|u(x)|<C」という意味、つまりuは有界ということでしょうか？ そうであるとすると質問の命題は成り立ちません。 たとえばσとしてσ(x)が恒等的に零行列、bとしてb(x)が恒等的に零ベクトルになるものを考えれば、uが非有界でもいいので。
補足
|・|はユークリッドノルム、uは有界ということでお願いします。 σに関する条件として、 y^Tσ(x)σ(x)^Ty≧c|y|^2、∀x,y∈R^n という条件が抜けておりました。但し、^Tは転置行列の意味です。
「R^n×m」とは？ 「uが有限である」とは？
補足
ご質問ありがとうございます。 R^n×mはn×m-実行列の全体です。 またuが有限であるとは |u|^2＜Ｃ、但しＣはある定数 ということでお願いします。
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