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恒等式の特質について
zzzzzzの回答
- zzzzzz
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> stomachmanさん お互いに勘違いがあるようなので。 私は、質問者のs-wordさんの知りたいことが、 「恒等式のところで出た論法と同様にして、ということなのでしょうか？」 という意味だと解釈したため、下記のような回答をしました。 つまり、「恒等式の問題なのかそうでないのかをはっきりさせないと判断できません」と回答したつもりです。 それに対し、stomachmanさんは質問の内容を 「恒等式の範囲でこの論法は正しいのですか？」 というように解釈して下(#5まで)のように回答されたのだと思います。 #4に書いたことは確かにfの連続性を仮定しての話なので「言えます」と断言したのはまずい、と思われたのかもしれませんが。 仮定を省略して不明瞭な書き方をしたことについては謝ります。 （定義云々の話は売り言葉に買い言葉、と解釈させていただいて省略します） s-wordさんの意図もはっきりしましたし、それに沿った記述をしていきたいと思います。 >#5の(1)について 私はこの式を真だと書き、stomachmanさんは偽と書いています。 これはfに関する仮定の問題で、確かにfを単に写像として考えれば偽です。 が、fが連続であることを仮定すれば、x≠0でf(x)=ax+bとなりますから、x→0としてx=0でもf(x)=ax+bとなります。私はこの意味で「成り立つ」と書きました。 どうやらfには微分可能性が仮定されているようですので、この命題は真になります。 >#5の(2)について 私がこの式を挙げたのは、「別に恒等式の話に限っているわけではないのでは？」と考えたからです。 もちろん(1)と(2)は別物で、この命題は(a,bに何らかの仮定がないならば)偽です。 皮肉じみた記述をしてすみませんでした。 >> このように論じるなら「xが固定されているのか」をきちんと考えなければだめです。 >と仰ってます。 「xが固定されている」というのがどういう意味だか不明ですが、 >∀x(f(x)=ax+b) >とは 「f(x)=ax+bがどんなxについても成り立つ」つまり「f(x)=ax+bは恒等式である」という意味です。 「この」の指す場所が違います。「本当に∀xを考えて良いのか」という意味で書いていますので、この回答の最初に書いた認識の違いに起因する記述と思われます。 ------------------------------------------------------------------- 以下、s-wordさんへの記述です。 >＞この環は整域であり、xは零元ではありませんので、上の２式は同値になります。 > >ここがちょっとよくわからないのですが。なぜxは0でないといえるのでしょうか。 実数上の多項式限定の話の場合を書いたつもりでしたので、「多項式環」というものを使って書きました。 多項式の、恒等式としての等号と、「多項式環」上の等号が同一視できる、というものなので使用したのですが、 この場合、質問のレベルから離れています。すみませんでした。 （xが0でないと言えるのではなく、多項式環ではxは不定元とよばれる１つの数なのです。なので0ではありません。） （この話は理解できなくても支障はないと思われます） さて、質問の内容ですが、補足から、fが微分可能、従って連続であることが分かりました。 従って、#5(1)の命題、 ∀x(xf(x)=ax^2 + bx )⇔∀x(f(x)=ax+b) が真になります。 右辺を仮定すれば左辺は明らかなので、左辺を仮定して右辺を示します。 x≠0ならばf(x)=ax+b、となるのはすぐに分かります。 さらにfが連続であることが分かっていますので、 f(0) = lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} (ax+b) = b が分かります。これより、x=0の場合もf(x)=ax+bを満たしていることが分かり、右辺が言えました。 略解はこの議論を省略しているものと思われます。
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お礼
zzzzzzさんこんにちは。何度も寄っていただいてどうもありがとうございます。何度も詳しい解説をしていただき苦手な私にも分かることができました。とってもわかりやすかったです。長い間どうもありがとうございました！！