ピリオドグラムって…

質問

時系列データの周波数うちわけを知る統計量（？）として，
ピリオドグラムというものがあることを知りました。

p(f) = C_0 + 2 Σ{k = 1 to ∞}C_k cos(2πkf)

周波数のうちわけを知るだけなら FFT で十分なのに，
なぜピリオドグラムというものが存在するのでしょうか。

不運にも私には，高校数学程度の理解しかありません。

ピリオドグラムのメリットとかデメリットが気になります。
ピリオドグラムをかみくだいて語ってくださると幸いです。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

ピリオドグラムというのは，つまり，確率的な信号についての，FFTの平均値みたいなものです．

普通，信号解析をする場合，多かれ少なかれ，外部ノイズなどの確率的な現象を含む信号（時系列）を対象にしています．
なんでスペクトル解析なんかをするときにも，確率的な取り扱いが入ってきます．

例えば，なんかの観測を無限回，繰り返したとします．
１回目は，時系列 f1(t) を観測，
２回目は，時系列 f2(t) を観測，
…
f1(t)，f2(t)，…は，だいたい似ているわけですが，細かく見るとノイズなんかの影響でちょっとずつ異なります．
なんで，f1(t)，f2(t)，…をそれぞれ，フーリエ変換（あるいはFFT）したF1(ω)，F2(ω)，…もちょっとずつ違います．
で，ピリオドグラムというのは，こいつらの各ωごとの平均のことです．つまり
　Periodogram(ω) = E[ Fn(ω) ]_{n=1,2,…}
です．（つまり．確率空間全体にわたる平均のこと）

あと，パワースペクトルというのもあります．これは Fn(ω)の絶対値の２乗の平均のことです．
信号解析では，各周波数成分ごとのパワーのほうに興味があることが多いので，こっちのほうがよく使われます．
つまり，
　PowerSpectrum(ω）= E[ |Fn(ω)|^2 ]_{n=1,2,…}
です，（これも，ほんとは，確率空間全体にわたる平均のこと）

注意しないといけないのは，
　PowerSpectrum(ω) ≠ |Periodogram(ω)|^2
ということです．これは，ある確率変数Xについて
　E[X^2] ≠ (E[X])^2
てことを考えればわかりますね．

なんで，パワースペクトルを計算するには，普通は観測した時系列を直接FFTするのではなくて，
時系列の自己相関をとってそれをFFTします．（ウィーナー・ヒンチンの定理）
定義上は，各観測時系列直接FFTして，それぞれ絶対値の２乗を計算してから，平均すればいいわけですが，
これだと，収束性がものすごく悪いです．

お礼

かみくだいてご説明いただき，助かりました。

FFT とピリオドグラムとで結果を比較してみました。
たしかにピリオドグラムは，ノイズ成分が非常に少ない！
でも拾いたい（高次の）周波数まで，低減されてました（笑

今後，ピリオドグラムを使うことがあれば，活用したいです。
とてもよい勉強になり今後，ツールの一つとして覚えておきたいです。