対数関数の問題

質問

log[10]2は 3/10　より大きいことを示せ。
という問題で方針すら立たない・・・といった状況だったのですが、模範解答を見ると、ヒントに
2^10>10^3 を利用すると書いてあったのですが・・・
この式自体は1024>1000だから2^10>10^3とは理解できるのですが・・・。
設問から　2^10>10^3　がどのようにして出てくるのでしょうか？

回答No.3

SortaNerd · ベストアンサー

前情報なしで分かるlogの値は
log[10](10^n) = n
のみですので、いかにして
log[10](2^m) ≧ n
となるmの値を見つけるかがこの種の問題の肝です。
そうすれば求める値が「n/m」より大きいことが分かります。
この問題は比較的素直に「3/10」と書いてあるので
log[10](10^3) = 3
log[10](2^10) ≧ 3
だと思いつきたいところです。

ただ、
2^10=1024≒10^3
7^2=49≒10^2/2
あたりは頻出ですのでこれくらいは覚えておく方がよいかもしれません。
「log2はこれこれである。log7を求めよ」という問題もよく見ます。

お礼

なるほど、分かりやすかったです
ありがとうございました！

回答No.4

zabuzaburo

そもそもlogとはどういう意味だったか考えてみてください。
log[10]2 は「10を何乗したら2になるか？」の答えです。
これが 3/10 より大きいことを示せ、ということは、
「10を(3/10)乗しただけでは2に満たないことを示せ」
という意味です。すなわち、切り詰めれば
「10^(3/10) < 2 を示せ」……(*)
という問題を出されたのと同じ状況です。

とりあえず log のことを忘れて、初めから(*)の形で出題された場合、
ご自身がどう解こうとするか、落ち着いて考えてみてください。

両辺を10乗した「10^3 < 2^10」を示そうとするのではないでしょうか。

蛇足ですが、もし底が10ではなく、1未満の正数であった場合には、
もちろん不等号が逆になりますのでご注意ください。

お礼

なるほど～　そういう風にも考えられますよね！
ってことは、ポイントとしては右辺、左辺を比較できる形にする！ってことですかね。
両辺logをとった形にするのもありだし。
ありがとうございました！

回答No.2

apple_pie1

log[10]2>3/10・・・(1)
の両辺に10をかけて
右辺にlogとると、
log[10]2^10>log[10]10^3
となります。
ここで2^10>10^3だから(1)は正しいです。

お礼

両辺に10をかけるってのがポイントでしたね
どうやればいいか分からなかった・・・
そうすれば、3/10も3になり、対数とると真数が10^3となって比較しやすくなりますね。
はじめ、log2>log10^(3/10)とか考えちゃって分からなかったです・・・
ありがとうございました

回答No.1

tatsumi01

閃きです。2^10=1024 がすぐ思いつけるかどうかを見ています。

log(2) を計算してみようと思ったことはありませんか。

私は高校生の頃 2^10=1024 は真っ先に思いついて log(2) ≒ 0.3 と計算しました。テーラー展開と e≒2.71828 を知っているとさらに高い近似が出ます。3^5=243≒1000/4 と log(2) の近似値を知っていると log(3) も近似できますね。n^m=10^k になるような組み合わせを探すのは面白い遊びです。

お礼

なるほど～　ありがとうございます
高校生のころ思いついたのですか・・・　頭いいですね(^^;
自分は今受験生なのですが、数学がすごい苦手で・・・（汗
なのでこういう閃きってのは起こりませんね(汗
けど、この問題でlog[10]2≒3ということは理解できました