コマネチ大学でラマヌジャン、連分数、ペル方程式

質問

コマネチ大学という番組で、ラマヌジャンが解いた問題が紹介されていました。

1,2,3,4,5,6,7,8
という数字があります。
6の左側、つまり1から5までを足すと、15になります。
6の右側、つまり7から8までを足すと、15になり同じです。
それは、それは1から8までを考えたとき、6が左右のバランスをとる数字ということですが、そのようなものを他に考えなさいということでした。

1,2,3,,,a,,,,b
を考え、
aの左側、つまり1からa-1までを足すと、
a(a-1)/2。
aの右側、つまりa+1からbまでを足すと、
b(b+1)/2-a(a+1)/2。
それらが等しいとき、
a(a-1)/2=b(b+1)/2-a(a+1)/2
⇔a^2=b(b+1)/2
⇔(2b+1)^2-8a^2=1

手計算ですると、(a,b)=(35,49)などが解である事がわかります。

しかし、すべての解が√2の連分数で求められるというのです。
√2=1+1/(2+1/(2+…
途中で切ると、
1+1/2=3/2
ここで、
3*2=6とmin(3^2,2*2^2)=8を考えると、それが一番上の例題に当たります。
連分数の次の近似
1+1/(2+1/2)=7/5
ここで、
7*5=35とmin(7^2,2*5^2)=49が手計算でした解に当たります。
一般に√2の連分数の近似を
n/m
とすると、
a=n*m
b=min(n^2,2*m^2)
が上のペル方程式の解になるそうです。

なぜですか？

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

詳しくは「G.Hardy, E.Wright, An Introduction to the Theory of Numbers」を参照していただきたいですがどうしてそのような事が起きるか概略を説明してみます。
まず連分数展開(記号の定義は書きませんが連分数を知ってらっしゃるのですぐに何を表しているのか分かると思います)√2+1=[2,2,2,...]から始めます。すなわち０番目の近似2、１番目の近似2+1/2=5/2、２番目の近似2+1/(2+1/2)=12/5、と続けていくわけです。ここでｎ番目近似を約分しない形でp_n/q_nと表したときp_n、q_nは次のように求まります：
p_n={x^(n+2)-y^(n+2)}/(x-y)
q_n={x^(n+1)-y^(n+1)}/(x-y)
ここでx＞yはX^2-2X-1=0の解です。これはちょっと計算すればｎに関して帰納的に示すことができます（ここで注意ですがこれを示すときにフィボナッチ型の数列a(n+2)=2a(n+1)+a(n)が現れますがこれが連分数、フィボナッチ型数列、ペル方程式を結びつけている部分で高校で習う漸化式と大いに結びついてます）。さてこれが一旦示されると√2の連分数展開のｎ番目近似P_n/Q_nは以下のように求まります：
P_n=p_n-q_n
Q_n=q_n
ここでP_n^2-2Q_n^2を計算すると簡単に求まり(-1)^(n+1)が得られます。したがってｎが偶数のときP_n,Q_nはペル方程式A^2-2B^2=-1の解、ｎが奇数のときペル方程式A^2-2B^2=1の解であることが分かります。またこれらがすべての解であることも示すことができます。ただここでは質問にあるa,bがなぜペル方程式の解であるかということに限りましょう。さてｎが奇数のときペル方程式(2b+1)^2-2(2a)^2=1の解としてa=Q_n/2,b=(P_n-1)/2が得られるわけです。これはペル方程式の解を与える一つ（というかすべてを与えているという意味で完璧なもの）の方法ですが質問にある解もまた別の方法です。すなわちｎが奇数とは限らずに一般のP_n,Q_nから(2b+1)^2-2(2a)^2=1の解を作ってしまおうというわけです。実際確かめてみます。質問にあるｎ、ｍは今の記号で書けばP_n,Q_nでa=P_nQ_n,b=min(P_n^2,2Q_n^2)です。ここでminがキーポイントになってます。というのはP_n,Q_nは２つのペル方程式A^2-2B^2=±1(ｎが奇数のとき+、偶数のとき-)のどちらかを満たしてますがb=P_n^2はｎが偶数のときに対応していて、b=2Q_n^2は奇数のときに対応してます。したがってたとえばb=P_n^2としましょう。このとき(2b+1)^2-8a^2=(4Q_n^2+1)^2-8P_n^2Q_n^2でありｎが偶数でなければならないことからP_n,Q_nはP_n^2-2Q_n^2=-1を満たしていてこれを用いると、
(4Q_n^2+1)^2-8P_n^2Q_n^2=(2P_n^2+1)^2-4P_n^2(P_n^2+1)=1と計算されます。このように一般的な解とはちょっと違う形ですがこれもまたペル方程式の解を与えていることがお分かりいただけたと思います。

お礼

お返事遅くなりすいません。
申し分ないご回答に感動と感謝をしております。

ペル方程式の一般解が、連分数展開のP_n,Q_nと関係しているのは知っていましたが、
a=P_nQ_n,b=min(P_n^2,2Q_n^2)
といったような解は初耳で、不思議に思っていました。
まことにありがとうございました。