不等式の解の求め方について

質問

申し訳ありませんが助言をお願いします。

(1-x/1-x^3)x^2<=0.1
x<3.54/9
と本に記載されていました。

不等式や方程式の解き方などを色々調べましたがどうしたら解
までたどり着くか理解できていません。

解が導かれるまでの過程についてアドバイスを頂けないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

答が数値で与えられている（しかも小数を分子にした分数である）ということから、これは数学の勉強の話ではなくて、実務でお困りなのだろうと推察します。
　ところで、ご質問の式は括弧の使い方が曖昧なんでしょうか、ひょっとして
「((1-x)/(1-x^3))(x^2)≦0.1 」を満たすxの集合を求む。
という問題ではないかと推測します。以下、これで考えます。

　初めに、ゼロで割り算をすることはできませんので、もしx=1だと左辺が定義されません。ですから、この不等式を満たすxは、1ではあり得ません。すなわち、問題は
「x≠1 かつ ((1-x)/(1-x^3))x^2≦0.1 」を満たすxの集合を求む。
と言い換えても同じ事です。
　次に、
(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)
と因数分解できます。だから約分ができて、問題は
「 x≠1　かつ　(x^2)/(1+x+x^2)≦0.1」を満たすxの集合を求む。
と同じ事です。
　ところで(1+x+x^2)は（xが実数なら）常に正です。（これは
1+x+x^2=0
という方程式が実数解を持たない（判別式が負になる）ことから分かります。）
　だから不等式
(x^2)/(1+x+x^2)≦0.1
の両辺に　10(1+x+x^2)　をかけ算しても、不等式の不等号はそのままで、
10(x^2)≦(1+x+x^2)
となります。移項して整理すると、結局問題は
「x≠1 かつ 9(x^2)-x-1 ≦0」を満たすxの集合を求む。
と同じ事であるのが分かります。

　さて、
9(x^2)-x-1 =0
という二次方程式を解くと二つの実数解a,b (a＜b)を得ます。
a = (1-√37)/18, b = (1+√37)/18　（b≒3.54/9です。）
　だから、
9(x^2)-x-1 ≦0
となるのは a≦x≦bのときです。従って、最初の問題は
「x≠1　かつ　a≦x≦b」を満たすxの集合を求む。
と同じということです。
　ここでさらに、（b＜1）が成り立つので、a≦x≦bを満たすxはx≠1も満たしています。だから、
「a≦x≦b」を満たすxの集合
が答ということになります。

お礼

stomachmanさん助言ありがとうございます。

説明内容が不足かつ不適切で申し訳ありませんでした。
この式は確率を求める本に記載されていましてご察しの通りだと思います。
(回答内容にもびっくりしましたが数式から推測されたのにはさらにびっくりしました。)

以下の過程は目からうろこでした。(勉強になりました)
・(1-x^3) = (1-x)(1+x+x^2)
・判別式が負になる
・～をかけ算しても、不等式の不等号はそのままで・・・

内容は十分過ぎるほど理解できました。本当にありがとうございました。
この考え方を忘れないようにします。m(__)m

回答No.2

thrush76

取り敢えず左辺に全部移項してください。
話はそれからです。
(丸投げは規約違反です)

お礼

自分自身の計算過程を記載してなくて申し訳ありませんでした。

1-x
----- * x^2 - 0.1 <= 0
1-x^3

x^2-x^3-0.1-0.1x^3
--------------- <= 0
1-x^3

-0.9x^3+x^2-0.1
--------------- <= 0 (1-x^3)^2を両辺に掛ける
1-x^3

(-0.9x^3x^2-0.1)(1-x^3) <= 0

ここまでは展開できたのですがこれから先に進める事ができません。
(この流れが自身がいいのか悪いのかも・・・)
この先をどのようにすればよいのかアドバイスを頂けないでしょうか。

補足

全然見当違いの方向で計算していたようです。
stomachmanさんの助言により解決しました。
ご指摘ありがとうございました。

情けないですが、丸々５日ではありませんが色々と考えた末の質問でした。
以後、質問の仕方には十分注意いたします。

回答No.1

SUPER-NEO

式を展開することから始めてください。
そこが第一歩です。

お礼

ご指摘ありがとうございました。
stomachmanさんの助言で解決しました。