二次関数の問題

質問

nを自然数とする。xの二次方程式5x＾2-3nx-7n=0が0<x<nの範囲に重解でない解をただ1つもつような最小のnの値を求めよ。

という問題があるのですが
2つの解がともに正になるように～・・・・
というパターンの問題から急にレベルがあがってしまってとき方がまったくわかりません
また、今黄色チャートをつかっているのですが
このレベルの問題またはその少し上の問題が載っている参考書などあったらおしえてください
よろしくおねがいいたします

回答No.1

grasshopper59 · ベストアンサー

まず、判別式D>0が条件となります。
まぁこれはnが自然数であるということで、全て満たしていると思います。
計算はしてみてください。
f(x)=5x＾2-3nx-7nとすると、y=f(x)は下に凸なので、
f(0)<0、f(n)>0となればいいわけです。
f(0)<0もnは自然数なので-7n<0となるので、すべてのnに対して成立します。
ので、結局のところf(n)>0だけが条件となります。

文章で表現するのはなかなか難しいのでグラフを書いてみれば判りやすいと思います。

参考書についてはちょっとわからないので申し訳ありません。

回答No.2

take_5

2つの解をα、β(α＞β)とすると、解と係数の関係から、α＋β＝(3/5)n、αβ＝-(7/5)nである。
nが自然数よりαβ＜0であるから、α＞0＞β。
従って、1解は負であるから　0＜x＜nにただ１つの解を持つための条件は、f(0)＝-7n＜0より、f(n)＞0.
これを解くと、n＞(7/2)より、n＝4.

逆に、n＝4の時は5x＾2-12x-28＝0で条件を満たす解はx＝(1/5)(6＋√(176))となり、確かに0＜x＜4にある。