方程式の問題です

質問

方程式2x^3 －（ａ＋２）x＾２＋ａ＝０　・・・(1)

(１)方程式(1)が、１を２重解としてもつようにａの値を定めよ。
(２)方程式(1)が１以外の数を２重解として持つようにaの値を定めよ。
という問題です。

答えは、(１)a＝１　（２）a＝０，-８　です。

問題文の「２重解として持つ」の意味から理解できません＞＜　
解説お願いします！！

回答No.3

info22_

>問題文の「２重解として持つ」の意味から理解できません

同じ解（重解）をp,重解でない解をq(≠p)とおくと

方程式 2x^3 -(a+2)x^2 +a =0 ...(A)
が
　2(x-p)^2*(x-q)=0　(p≠q)　...(B)
と左辺が因数分解できる。この時 pを2重解と呼びます。

(1)
p=1(q≠1)の時
（B)の左辺=2(x-1)^2*(x-q)=2x^3 -(a+2)x^2 +a　...(C)
となるようなq,aを求めれば良い。
　(C)の式の各次の係数を比較してq,aの方程式を作り、
　4+2q=a+2,2+4q=0,-2q=a
解けば
　a=1,q=-1/2
と求まります。
答え：a=1
なお、a=1の時方程式の解は1(２重解)と-1/2
になります。

(2)
p≠1,p≠qの時
（B)の左辺=2(x-p)^2*(x-q)=2x^3 -(a+2)x^2 +a　...(D)
となるようなq,aを求めれば良い。
　(D)の式の各次の係数を比較してq,aの方程式を作ると、
　4p+2q=a+2,2p(p+2q)=0,-2p^2*q=a
解けば
　(p,q,a)=(0,1,0),(-2,1,-8),(1,-1/2,1)
と求まります。
p≠1,p≠qより(1,-1/2,1)は不適。
答え：a=0, -8
なお、
a=0の時の方程式の解は0(2重解)と1
a=-8の時の方程式の解は-2(2重解）と1
です。

回答No.2

k14i12d

(1)1を2重解として持つ⇔2(x-1)^2(x-u)=0とおける。
解と係数の関係より、2(2+u)=a+2、2(2u+1)=0、-2u=a
より、a=1が導かれる。
2重解を持つ⇔a(x-t)^2(x-u)=0と因数分解できる。⇔グラフがx軸と接する。
(2)上の一般的な事実から、(与式)⇔2(x-t)^2(x-u)=0とおける。
解と係数の関係に着目して、2(2t+u)=a+2 ←[1]、2(2ut+t^2)=0 ←[2]、-2ut^2=a ←[3]とおける。
[2]より、t=0として、u=1,a=0が導かれ、これは適する。
t≠0として、u=-t/2 ←[4]
[3][4]より、t^3=aこれと[4]を[1]に適用して、
4t-t=t^3+2⇔t(t^2-3)=-2より、t=-2のみ
よってa=t^3=-8
以上より、a=0,-8

回答No.1

spring135

2x^3 －（ａ＋２）x＾２＋ａ＝０

2x^3-2x^2-ax^2+a=0

2x^2(x-1)-a(x^2-1)=0

ここまでわかりますか

(x-1)をくくりだして

(x-1)(2x^2-a(x+1))=0

この式から、この方程式はx=1を解に持つことがわかります。

(1)x=1が２重解とは

(x-1)^2(x-3)=0

のようになるときのことです。

もう一回x=1が解になるためには

2x^2-a(x+1)=0

がx=1を解に持てばよいことがわかります。

従って

2-2a=0

a=1

(2)x=1以外の２重解を持つためには

2x^2-a(x+1)=0　　　(1)

が重解を持てばよい。

判別式D=a^2+8a=0

よってa=0またはa=8

1）a=0のとき

(1)は2x^2=0

x=0を２重解にしています。

2）a=-8のとき

(1)は

2x^2+8x+8=0

(x+2)^2=0

ｘ＝-2を２重解にしています。

1）、2）ともOK