[☆急いでます!!☆] 基本変形の解があわない・・ [線形代数]

質問

基本変形で階段行列を作るとき、やり方によって違う答えが出てきます。
例えば普通に掃きだし法でやると、、

| 1 2 3 |
| 0 1 1 |

↓

| 1 0 1 |
| 0 1 1 |

ですが、

途中で列を入れ替えてやると、、

| 1 2 3 |
| 0 1 1 |

↓

| 1 3 2 |
| 0 1 1 |

↓

| 1 0 -1 |
| 0 1 1 |
となり、最初の方法でやったときの解とちがってしまいます。

基本変形っていうのは行＆列の入れ替えができるはずなのですが？？
基本変形の解は一つではないのでしょうか？？
それとも列の入れ替え自体に間違いがあるのでしょうか？？

すみません、教えてください！お願いしますm(__)m

回答No.3

kokubankes · ベストアンサー

その２つの行列を「階段行列」を求めたものとして考えると、どちらも間違ってないように思います。

しかし、連立１次方程式の解を行列を使って求める際、列の入れ替えを行うと間違いが起こる可能性があります。

例えば、

|1 2 3 |　　　
|0 1 1 | ^t（x y z)＝０　(^tは転置をあらわすとする）
すなわち、x+2y+3z=0,y+z=0の連立方程式の解を求めるとします。

これを入れ替えなしで計算すれば、
質問者さんが上に書かれているように、
|1 0 1 |　　　
|0 1 1 | ^t（x y z)＝０ つまり、x+z=0,y+z=0　が出てきます。

もし仮に列基本変形を行うとどうなるか？
| 1 3 2 |
| 0 1 1 | t^（x z y)　　

違いがわかりますか？
つまり、列を変えると数字の行列とともに、変数の行列も同時に入れ替えなければならないんです。

結局、列基本変形を行っても、行わなくても出てくる連立方程式の答えは同じになりますが、列基本変形をしたときに変数の位置の入れ替えもせねばならないので、面倒です。

なので、「基本変形」とは言いますが、列変形を使わずに「行基本変形」のみを利用した方がミスを防ぐにはよいかと思われます。

回答No.4

kevin23

あまり自信はないですが確か階段行列というのは１の成分の左側すべてと上側すべてが０でないといけなかったような気がします。なので

| 1 0 1 |
| 0 1 1 |

は

| 1 0 0 |
| 0 1 0 | (1)

あるいは

| 1 0 0 |
| 0 0 1 | (2)

と変形しないといけないと思います。

| 1 0 -1 |
| 0 1 1 |

になったとしても（１）または（２）に変形できるので問題ないと思います。また、基本変形の解は（１）や（２）のように１つではないと思います。

間違ってたらすいません・・・

お礼

お礼が送れて大変申し訳ございませんでした！m(__)m

みなさまのおかげで無事、問題を解決することができました。いそぎでしたが、みなさまのすばやい回答によって本当に助かりましたことを感謝します。

ポイントですが、一番参考になった回答に付加することとします。ですが、その他の方の回答もどれも参考になりました☆

勝手ではありますが、ここに書いたコメントをみなさん全員へのお礼とさせていただきます☆

回答No.2

hot-coffee

第２行を第１行に足して、第２列と第３列とを入れ替えをしてみて下さい（どちらが先でもいいですが…）。

｜１０-１｜
｜０１ １｜

↓

｜１１０｜
｜０１１｜

｜１０１｜
｜０１１｜

となりますから、結局同じです。（２列と３列の交換を２回やれば元に戻りますので…）
最終的に出てくるものは同じになります。

回答No.1

noname#21219

一番右端の列は実際の数字ですよね。
左２列が、変数の係数のはずです。行の交換はできますが、列の交換は、右端はできないと思います。
仮に交換すると、数字が1で、係数が1ではないという結果になります。
階段行列にするのは、上の行が、xの係数が1でyの係数が0,下の行がyの係数が1でxの係数が0にしたいわけで
何故なら、答えが一目良縁となるからです。

左二つの列の交換はできると思います。その場合、
階段行列をつくると、一行目はyの値、2行目はxの値に
なるはずです。こんがらがるので、列基本変形はやらないほうが無難だと思います。