順列の問題、大学受験

質問

１からn（n≧４）までの整数を書いたn枚のカードがある。カードのそれぞれにa, b,c,dのスタンプのうち一つを押すことにする。次の問に答えよ。

1使わないスタンプがあってもよいとき、押し方は何通り？
私の考え方は、カードがn枚ある。それを一列にならべる。ここでしきりを三枚用意する。
そのしきりの内側を左から、a,b,c,dとわけてスタンプをおせばいい。
だから、式はカードn枚としきり3枚のn+3からしきりの場所を三箇所選べばいいので、
（ｎ+3）Ｃ２より｛（n+3）（n+2）｝/2!としました。
ですが、解答はn枚のカードそれぞれに４通りの押し方があるから、4^nでした。
私は、解答のやり方はわかりました。そのほうが早いと思います。でも、自分のやり方のどこがまちがっているのかと考えてもわかりません。そこで質問なのですが、私のやり方はどこがまちがっているんでしょうか？

2．使わないスタンプが２つになる押し方は何通り？
私の考え方；二つのスタンプの選び方は４Ｃ２．
残りの２つのスタンプでn枚のカードにスタンプをおせばいいので、、n舞のカードを並べたとき、しきりをその隙間(n-1)から一箇所選べばいいので、(n-1)C1.
よって2*(n-1)C1=６（n-1）としました。
が、解答は、6（２^n-2）でした。これはどうしてかわかりません。。。

次にも続くのですが、ここで略します。
順列難しいです。どなたかご存知の方、アドバイスをよろしくお願いいたします。

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

書いておられるようにこれは順列です。重複順列というやつですね。
『重複順列』で検索してみてください。
通常、n種類のものをr個選択するのは

n^r

で計算します。サイコロを5回振って出る目の組み合わせなどなら

6^5=7776 通り

というように計算します。敷居の考え方を使うのは重複組み合わせですね。
リンゴ10個をもらえない人もいてよいので4人に配るのは

(10+4-1)C(4-1)=286 通り

と計算する時に使います。これはリンゴに区別をつけないときに使います。
皆さんも指摘しておられるようにカードに区別が無いなら重複組み合わせですが、
今は区別があるので重複順列で計算してください。

ちなみに(2)の考え方で4C2はいいです。そしてスタンプ2種類だけなので

2^n

ただし、これには全部1種類のスタンプを押してしまった場合も含まれ、
それは題意に合わないので2引きます。
aとbで
a,b,b,b,a,・・・　　を数えるのに2＾nで計算しますがこれには
a,a,a,a,a・・・
b,b,b,b,b・・・　この2つも含まれるので引きます。
後は4C2をかければいいのですよ。

6　(2^n-　2)
↑　↑　　↑
　　　　　全部同じスタンプを押した場合を引く
　　2個のスタンプをn種のカードに押す場合の数
4つのスタンプから2個選ぶ

お礼

age_momoさま、御回答いただきありがとうございました。大変丁寧な御回答でしたので、自分が間違っていたのは、重複順列なのに、重複組み合わせで考えていたという点だということがわかりました。

こんがらがらないようにしっかり区別して覚えます。大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.3

kengon415

これは順列の問題ではありません。
a,a,a|b,b|c|d,d　のような押し方のみではなく、
a,b,c,a,d,b,a,d　のようにバラバラにスタンプを押すことも可能です。

ゆえに、
１．
１枚目のカードにどのスタンプを押すかで４通り。
２枚目以降も同じ。
よって、４^ｎ通り。

２．
２つのスタンプの選び方は４Ｃ２＝６

１枚目のカードにどのスタンプを押すかで２通り。
２枚目以降も同じ。
ただし、全部同じスタンプを押すというのは認められないので、（２^ｎ-2）通り。

よって答えは、６（２^ｎ-2）通り。

お礼

kengon415さま、御回答ありがとうございます。
書いていただいたのは、参考書の解法どおりでした。

回答No.2

pocopeco

１、まちがってます。
区別できないカード（数字が書かれてないカード）n枚のときは、あなたのやりかたです。

どう間違ってるか例をあげてみると、
５枚の場合、あなたのやりかたでは、aが1枚、bが1枚、cが1枚、dが2枚なら、数字の組合せがどうであれ、同一とみなされます。
1/2/3/45　と、2/1/3/45 が同一とみなされます。

お礼

pocopecoさま、御回答いただきありがとうございました。ご指摘の通りだと納得しました。今回は、カードにはそれぞれ番号がうってあるので、自分の解法は間違っていますね。大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

bin-chan

なぜ「しきり」なるものが登場する必要があるのか、がわかりません。

何のためですか？