無限って何ですか？（大学レベルでお願いします）

質問

「無限」、考えれば考えるほど深遠な存在ですね。
僕もわからなくなっていました。
数学の得意な方にお聞きしたいです。

（大学レベルの）数学的な認識として（本来は論理記号などで記述したいが、面倒なので日本語で記述して）、

自然数１、２、３、・・・の先にあるのがω（オメガ）

実数（＝数直線）の右の端にあるのが＋∞

複素平面の端にあるのが、∞

座標平面の一定方向の端にあるのが、射影座標でいう無限遠点

という解釈でいいでしょうか？
もちろん、いろいろな解釈があるとは思いますが、大学レベルの数学的な解釈をいろいろ教えていただきたいです。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

No.1さんのおっしゃるとおり
直接扱うことはまずないですね
＃超準解析はちょっと違いますが，
＃勉強したことないのでパスします

一口に「無限」といっても扱う文脈で微妙に違います．

集合論的な解釈だと
カントール・デデキント流に
「部分と全体が1対1に対応つけられる集合を
無限集合という」という定義です

解析的な解釈だとコーシー流のε-δ論法です

残りは幾何的な解釈になるのかな

>自然数１、２、３、・・・の先にあるのがω（オメガ）

先にあるというか・・・ωというのは
一種の符牒みたいなものです．
わざわざωと書いて∞風に扱うことは
ほとんどありません．

>実数（＝数直線）の右の端にあるのが＋∞
>複素平面の端にあるのが、∞
>座標平面の一定方向の端にあるのが、射影座標でいう無限遠点

これらは幾何的には同じような扱いです

実数全体の集合Rを考えると
1点コンパクト化というのがあります．
RにR外の「点∞」というのを追加した集合
S=R∪{∞}を考えます．
これは円周S^1と同相になってコンパクトです．
＃開集合{x | X>M} を 一点∞の近傍とみなす
＃位相をSにいれると「射影」で同相とできます

Sははっきりいっちゃえば一次元実射影空間RP^1です．
＃RP^1= {(x,y)}/～，(x,y)～(λx',λy')
＃λは実数（0ではない）

複素平面Cの場合は「端」ではないです
平面を丸めていって，
どうしても穴が開いてしまう一点が無限遠点∞で
これも一点コンパクト化の一例です
Cに∞を追加した集合C∪{∞}は
今度は球面S^2です
これは複素構造を無視すれば
「実二次元平面」も全く同じように
S^2になります．
これは一次元複素射影空間CP^1でもあります．

実平面に「無限遠直線」を追加したのが
二次元実射影空間RP^2です
これもコンパクト化ですけど，一点ではなくて
直線を追加してます．
＃これは位相的には難しい・・メビウスの帯にそって
＃閉円板をくっつけた形といわれます．
＃トポロジーの基本的な本に図解があるでしょう

ずらずら書きましたが，幾何的に見た場合，
「普通の方」を一枚のカバー，
「∞を含む方」をもう一方のカバーと考えて
＃正確には開被覆といいますし，
＃二次元実射影平面の無限遠直線は
＃一枚では覆えません．
それぞれをRやCやR^2などと同一視します．
そして，R，C，R^2なので，それぞれの
カバーには座標がついてることが重要です．
カバー同士の共通部分では
共通部分の点はそれぞれのカバーについている
座標を使って表現できますが，
カバーが違えば座標軸の変換規則で
座標が変わります．

幾何的には，こういう風にカバーごとに
「わける」ことで
「無限大の点」というを避けるようになっており，
「空間をカバーで覆ってカバーごとに考える」のが
多様体と呼ばれる幾何の基本的な対象です．

＃幾何で絵がかけないのは結構しんどい・・・

補足

丁寧なご返答に感謝いたします。

解析的な解釈だとコーシー流のε-δ論法です
残りは幾何的な解釈、コンパクト化

ということですが、それらは同じものだと思うのです。
x→αのときf(x)→β
という極限の概念は、
任意のβ近傍に対して、あるα近傍が存在して、β近傍のfによる逆像は、α近傍に含まれる
と位相的に定式化されると思いますが、それはコンパクト化された実数においては、αやβが∞でもいいと思います。
ε-δ論法では、x→αということと、x→∞ということは、少し違って定式化されていましたが、実数をコンパクト化することで、同等に扱えると思うのです。

幾何的な解釈ではまた、点列の極限を用いる方法もありますが、ところで、
集合の列の極限という概念があります。
それは、
順序集合として、上極限や下極限などの考えを用いて、定式化されます。

それらの、位相空間の点列の極限の概念と、
順序集合としての集合列の極限という概念には、なにかつながりがあるのでしょうか？

回答No.3

yoikagari

kabaokabaがおっしゃていた、「超準解析」に関するページへのリンクをはっておきます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:Search?search=%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90&go=%E8%A1%A8%E7%A4%BA

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

現代の数学では、無限に関することについては直接扱わない傾向があります。というのも、多くの場合、無限を直接扱うと矛盾が出てきてしまうからです。

例えば、「無限集合」は、「要素の数が無限大の集合」ではなくて、「その集合のすべての要素と、１対１対応できるような真部分集合が存在する集合」ですし、「無限次元線形空間」は、「任意のｎに対して、ｎ個のベクトルの一次結合では表現できないベクトルが存在する」空間です。

x→∞ のときに、f(x) → ａ となるのは、任意のδを持ってきたときに、N より大きなすべての x に対して、f(x) が、a のまわり、δの範囲に入るってしまうようなＮが決められるということです。

つまり、「無限」という点が存在するのではなく、「無限に近づける」とか、「無限に存在する」という状態だけが定義されているわけですね。

この意味では、「無限遠点」は、少々毛色が異なります。