信号解析の『確率』の問題

質問

次の問題が全くわかりません。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。
　次式をそれぞれフーリエ変換し、正確にフーリエスペクトルを描け。

　x(t)=Ae^(-at) (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・・・・（１）

　x(t)=Ae^(-at)cosbt (t>=0) , x(t)=0 (t<0)・・・・・・（２）

　x(t)=A (c>=t>=0) , x(t)=0 (c<t<0)・・・・・・・・・・（３）

回答No.4

nuubou · ベストアンサー

また間違っていた

Ｘ（ｆ）＝∫ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅ＾（－ｉ・２・π・ｆ）とすると

（１）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（ａ＋ｉ・２・π・ｆ）
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ・（１／（ｉ・２・π・ｆ）＋δ（ｆ）／２）
ａ＜０ならばフーリエ変換不能
（２）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／２・（１／（ａ＋ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ）＋１／（ａ－ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ））
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（２・ｉ）・（１／（２・π・ｆ＋ｂ）＋１／（２・π・ｆ－ｂ））
＋Ａ／４・（δ（ｆ－ｂ／（２・π））＋δ（ｆ＋ｂ／（２・π）））
ａ＜０ならばフーリエ変換不能

（３）ｘ（ｔ）＝Ａ　（０≦ｔ≦ｃ），ｘ（ｔ）＝０　（ｔが他）の場合：
両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（ｉ・２・π・ｆ）・（１－ｅ＾（－ｉ・２・π・ｆ・ｃ））

まだ計算違いしているかも

お礼

何度も投稿していただきありがとうございました。nuubouさんの解答を参考に自分なりの答えを導き出す事ができました。これからも御縁があれば、投稿よろしくお願いします。

回答No.6

stomachman

呼ばれたような気がしたstomachmanです。
(3)の式は書き間違いとして、いずれもt<0でx(t)=0となるようですね。だったら、ラプラス変換を使った方が簡単です。

お礼

え～っ、ラプラス変換を使うとは・・・。
実は投稿した問題はレポートの問題だったのですが、もう提出してしまいました。締め切りが近かったもので・・・。
でも、これからの勉強に何らかの役に立つかもしれないのでラプラス変換を用いてもう一度やってみようと思います。
また何か御縁があったら、投稿よろしくお願いします。今回は投稿していただきホントにありがとうございました。

回答No.5

nuubou

ａ＝０のときδ関数の項がいる理由は私の質問に答えられた回答者：stomachman先生の回答が参考になると思います
以下にその質問のリンクを載せます
特に最初の回答が参考になると思います

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=189994

お礼

わざわざ参考になる質問のリンクを教えていただきありがとうございました。ホントかなり参考になりましたよ～。

回答No.3

nuubou

やっぱり間違っていた

Ｘ（ｆ）＝∫ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅ＾（－ｉ・２・π・ｆ）とすると

（１）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（ａ＋ｉ・２・π・ｆ）
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ・（１／（ｉ・２・π・ｆ）＋δ（ｆ）／２）
ａ＜０ならばフーリエ変換不能
（２）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／２・（１／（ａ＋ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ）＋１／（ａ－ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ））
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（２・ｉ）・（１／（２・π・ｆ＋ｂ）＋１／（２・π・ｆ－ｂ））
＋Ａ／４・（δ（ｆ－ｂ／（２・π））＋δ（ｆ＋ｂ／（２・π）））
ａ＜０ならばフーリエ変換不能

（３）ｘ（ｔ）＝Ａ　（０≦ｔ≦ｃ），ｘ（ｔ）＝０　（ｔが他）の場合：
両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（ｉ・２・π・ｆ）・（１－ｅ＾（ｉ・２・π・ｆ・ｃ））

まだ計算違いしているかも

回答No.2

chukanshi

フーリエ変換
\int(from -∞ to ∞) dt x(t)*exp(iωt)
でしょう。

（１）
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt Aexp(-at+iωt)=
A(a+iω)/(a^2+ω^2)

（２）
\int(from 0 to ∞) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to ∞) dt A*exp(-at)*((exp(ibt)+exp(-ibt))/2)*exp(iωt)
=1/2*A(a+i(ω+b))/(a^2+(ω+b)^2)+1/2*A(a+i(ω-b))/(a^2+(ω-b)^2)

（３）
\int(from 0 to c) dt x(t)*exp(iωt)=
\int(from 0 to c) dt A*exp(iωt)=
A/ω*(1-exp(iωc))i=
A(sin(ωc)-i(cos(ωc)-1))/ω

計算に自信なし。
スペクトルは、横軸にωをとってかく。
実部と虚部と分けてかく。
スペクトル強度なら、絶対値の２乗をとって実数にする。

お礼

投稿ありがとうございました。ホントに助かりました。スペクトルに関しても絶対値をとって、ωについての関数｜X(ω）|に関して増減表を書き、図示する事ができました。

回答No.1

nuubou

Ｘ（ｆ）＝∫ｄｔ・ｘ（ｔ）・ｅ＾（－ｉ・２・π・ｆ）とすると

（１）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／（ａ＋ｉ・２・π・ｆ）
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ・δ（ｆ）
ａ＜０ならばフーリエ変換不能
（２）：
０＜ａならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／２・（１／（ａ＋ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ）＋１／（ａ－ｉ・ｂ＋ｉ・２・π・ｆ））
ａ＝０ならば両辺をフーリエ変換すれば
Ｘ（ｆ）＝Ａ／２・（δ（ｆ－ｂ／（２・π））＋δ（ｆ＋ｂ／（２・π）））
ａ＜０ならばフーリエ変換不能

（３）はｘ（ｔ）＝Ａ　（０≦ｔ≦ｃ），ｘ（ｔ）＝０　（ｃ＜ｔ＜０）
ということはｃ＜０で０≦ｃですか？
そういうｃは存在しないのでは？

よく間違えるので計算違いしているかも