フーリエの問題がわからないです。

質問

大至急お願いします。フーリエの問題がわからないです。

フーリエの問題がわからないです。
問題１）次の問題のフーリエ展開を求めよ
(1)f1(x)={α(x-L/2)+β(x0＜x≦L/2),α(x+L/2)+β(-L/2≦x＜x0)}
(2)f2(x)={0(-L/2≦x＜x0-a),α(x-x0+a)(x0-a＜x≦x0),-α(x-x0-a)(x0＜x≦x0+a),0(x0+a＜x≦L/2)}
問題２）問題１のフーリエ展開された結果を使って
(1)df1(x)/dxを計算し、δ(x-x0)との関係を求めよ f1(x)=α(x+1/2)+β-αLθt(x-xo)とかけるとこから
d/dxθ(x-x0)とδ(x-x0)との関係を求めよ
(2)フーリエ変換の結果を使ってα=1/a^2としlim(a→0)f2(x)はどのようになるか

よろしくお願いします。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

物理学で質問するとよかったのでは．

以下の計算は数学的には粗雑で形式的です．物理数学ではOKです．

（１）

(1)

k=2π/L

とおきます．

c_1(n)=(1/L)∫_{-L/2}^{L/2}f_1(x)e^{-inkx}

c_1(0)=(1/L)∫_{-L/2}^{L/2}f_1(x)

これはf(x)の-L/2≦x≦L/2における平均値だから，区分的な直線であることを考えると，
c_1(0)=[{f(-L/2)+f(x_0-0)}/2+{f(x_0+0)+f(L/2)}/2]/2

=[{f(L/2)+f(-L/2)}/2+{f(x_0-0)+f(x_0+0)}/2]/2

=[β+(2αx_0+β)}]/2=αx_0+β

この結果は積分をまともに実行しても得られます（やってみて下さい）．

n≠0のとき，

c_1(n)=(1/L)∫_{-L/2}^{L/2}f(x)dx

=(1/L)[∫_{-L/2}^{x_0}{α(x+L/2)+β}dx+∫_{x_0}^{L/2}{α(x-L/2)+β}dx]

=(1/L)[∫_0^{x_0+L/2}(αy+β)e^{-inky}e^{inkL/2}dy-∫_0^{x_0-L/2}(αy+β)e^{-inky}e^{inkL/2}dy]

={(-1)^n/L}[∫_0^{x_0+L/2}(αy+β)e^{-inky}dy-∫_0^{x_0-L/2}(αy+β)e^{-inky}dy]
={(-1)^n/L}∫_{x_0-L/2}^{x_0+L/2}(αy+β)e^{-inky}dy

={(-1)^n/L}[(αy+β){e^{-inky}/(-ink)}|_{x_0-L/2}^{x_0+L/2}-∫_{x_0-L/2}^{x_0+L/2}(αy+β)'{e^{-inky}/(-ink)}dy]

={(-1)^n/L}[{α(x_0+L/2)+β}{e^{-ink(x_0+L/2)}/(-ink)}-{α(x_0-L/2)+β}{e^{-ink(x_0-L/2)}/(-ink)}-α{e^{-ink(x_0+L/2)}-e^{-ink((x_0-L/2))}/(-ink)^2}]

kL=2πに注意して整理すると，

c_1(n)=αe^{-inkx_0}/(-ink)(n≠0)

よって

f_1(x)=c_1(0)+Σ_{n=1}^∞[c_1(n)e^{inkx}+c_1(-n)e^{-inkx}]

=αx_0+β+αΣ_{n=1}^∞[e^{ink(x-x_0)}/(-ink)+e^{-ink(x-x_0)}/(ink)]

=αx_0+β+(iα/k)Σ_{n=1}^∞[{e^{ink(x-x_0)}-e^{-ink(x-x_0)}/n]

=αx_0+β-2(α/k)Σ_{n=1}^∞sin{nk(x-x_0)}/n

f_1(x)=αx_0+β-(αL/π)Σ_{n=1}^∞sin{2nπ(x-x_0)/L}/n（答）

(2)

F_2(k)=∫_{-∞}^∞dxe^{-ikx}f_2(x)

=∫_{-∞}^∞dye^{-ik(y+x_0)}f_2(y+x_0)

=e^{-ikx_0}∫_{-∞}^∞dye^{-iky}f_2(y+x_0)

ここで

f(y+x_0)=α(y+a)(y≦0),-α(y-a)(0≦y)

であるから、

e^{ikx_0}F_2(k)=∫_{-a}^0dyα(y+a)e^{-iky}-∫_0^adyα(y-a)e^{-iky}

=∫_0^adzαze^{-ik(z-a)}-∫_{-a}^0dzαze^{-ik(z+a)}

=αe^{ika}∫_0^adzze^{-ikz}-αe^{-ika}∫_{-a}^0dzze^{-ikz}

=αe^{ika}∫_0^adzze^{-ikz}+αe^{-ika}∫_0^adzze^{ikz}

ここで

∫_0^adzze^{-ikz}=∫_0^adzz(e^{-ikz}/(-ik))'

=z(e^{-ikz}/(-ik))|_0^a-∫_0^adzz'(e^{-ikz}/(-ik))

=ae^{-ika}/(-ik))-(e^{-ikz}/(-ik)^2)|_0^a

=ikae^{-ika}/k^2+(e^{-ika}-1)/k^2

={(ika+1)e^{-ika}-1}/k^2

同様に

∫_0^adzze^{-ikz}={(-ika+1)e^{ika}-1}/k^2

ゆえに

e^{ikx_0}F_2(k)

=αe^{ika}{(ika+1)e^{-ika}-1}/k^2+αe^{-ika}{(-ika+1)e^{ika}-1}/k^2

=(α/k^2)(ika+1-e^{ika})+(α/k^2)(-ika+1-e^{-ika})

=(α/k^2)(ika+1-e^{ika}-ika+1-e^{-ika})

=(α/k^2)(2-2cos(ka))=2α(1-cos(ka))/k^2

=4αsin^2(ka/2)/k^2

こうして

F_2(k)=e^{-ikx_0}4αsin^2(ka/2)/k^2

f_2(x)={1/(2π)}∫_{-∞}^∞dkF_2(k)e^{ikx}

f_2=(2α/π)∫_{-∞}^∞dke^{ik(x-x_0)}sin^2(ka/2)/k^2（答）

（２）（１）(1)より

df_1(x)/dx=-2αΣ_{n=1}^∞cos{nk(x-x_0)}

=(-α)(Σ_{n=1}^∞[e^{ink(x-x_0)}+e^{-ink(x-x_0)})

=(-α)(Σ_{n=-∞}^∞e^{ink(x-x_0)}-1)

=α-Σ_{n=-∞}^∞e^{ink(x-x_0)}

ここでδ関数のFourier展開は

δ(x-x_0)=Σ_{n=-∞}^∞[(1/L)∫_{-L/2}^{L/2}δ(x-x_0)e^{-inky}dy]e^{inkx}

=Σ_{n=-∞}^∞(1/L)e^{-inkx_0}e^{inkx}=(1/L)Σ_{n=-∞}^∞e^{ink(x-x_0)}※1

となるから，

df_1(x)/dx=α{1-Lδ(x-x_0)}

一方，

f_1(x)=α(x+L/2)+β-αLθ(x-x_0)

∴df_1(x)/dx=α-αLdθ(x-x_0)/dx=α{1-Ldθ(x-x_0)/dx}

よって

α{1-Lδ(x-x_0)}=α{1-Ldθ(x-x_0)/dx}

dθ(x-x_0)/dx=δ(x-x_0)

(2)α=1/a^2のとき（１）(2)より

F_2(k)=e^{-ikx_0}sin^2(ka/2)/(ka/2)^2

=e^{-ikx_0}{sin(ka/2)/(ka/2)}^2

a→+0とすると、sin(ka/2)/(ka/2)→1であるから、

lim_{a→+0}F_2(k)=e^{-ikx_0}

となります。これはデルタ関数δ(x-x_0)のFourier変換だからf_2はa→0でδ(x-x_0)になるはずです．実際、

lim_{a→+0}f_2(x)=(1/2π)∫_{-∞}^∞dke^{ikx}lim_{a→+0}F_2(k)

=(1/2π)∫_{-∞}^∞dke^{ikx}e^{-ikx_0}=(1/2π)∫_{-∞}^∞dke^{ik(x-x_0)}

=δ(x-x_0)※2

※1,2は覚えておいた方がよいです．※1は通常

Σ_{m=-∞}^∞δ(x-mL)=(1/L)Σ_{n=-∞}^∞e^{i2nπx/L}

と書かかれます．-L/2≦x≦L/2に限ると左辺はδ(x)になります．

回答No.3

info22_

レポート締め切り前ならヒントだけ。
分からなければ、レポート提出後、先生から解答を教えてもらえるでしょう。

問題1)
やたらパラメータが多いので
各パラメータに簡単な値を与えて、それに対するf1(x),f2(x)のグラフを描いて見て下さい。
図が描けたら、それぞれについてフーリエ級数展開の係数a0,an,bnを求めてみて下さい。
完了したら、パラメータを１つずつ変えた場合のグラフやフーリエ級数展開の係数にどんな影響が出るか調べて見て下さい。
そうすれば問題が解けるようになるかと思う。

問題2)
(1)
問題1)でやったように、各パラメータに簡単な値を与えて描いたf1(x)のグラフから
グラフ的にdf1(x)/dxを求めれば良いでしょう。

質問
>f1(x)=α(x+1/2)+β-αLθt(x-xo)とかけるとこから
>d/dxθ(x-x0)とδ(x-x0)との関係を求めよ
このθt(x-xo)やθ(x-x0)はなんでしょうか？

x=x0の所でf1(x)が不連続にジャンプします。そのジャンプする大きさをKとすれば
df1(x)/dxには、x=x0の所にKδ(x-x0)が存在することになります。

(2)
>α=1/a^2とし
>lim(a→0)f2(x)
f2(x)はx=x0を中心に位置する幅2a,高さ1/aの孤立三角波(面積=1)だから
その極限を考えればδ(x-x0)の定義の１つになっていますね。

回答No.2

noname#171951

＞とりあえずどのように解いたらいいのか

少なくとも、問題1なんてただ計算するだけだから
解くもヘッタクレもないのでは？

前回1人も回答しなかったのはそういう理由。
自分で計算すればいいのをサボっているように
しかみえないから。

回答No.1

Tacosan

どこがどうわからんの?

補足

とりあえずどのように解いたらいいのかまったくわからない状態です・・・
レポートの課題として出さなければいけないのでできれば詳しく教えて欲しいです。