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数列の質問です。
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計算間違いの常習犯stomachman、後半ちょっと間違えましたぞ。 「これを使って、」から以下を訂正です。 S[m] = ΣA[k] (Σはk=(m-1)^2+1~m^2の総和) = T[m^2]-T[(m-1)^2] = T[m^2]-T[m^2-2m+1] =(57-(m^2))(m^2)-(57-(m^2-2m+1))(m^2-2m+1) =-4(m^3)+6(m^2)+110m-56 となります。 S[m]のmを実数だと思えば、S[m]=0は3次方程式 -4(m^3)+6(m^2)+110m-56=0 であり、3つの実解 m1=1/2, m2=(1+√113)/2), m3=(1-√113)/2 を持っています。√113≒10.6 ですから、 m1=1/2, m2 ≒ 5.8, m3 ≒ -4.8 です。 m≧1であって、しかもS[m]≧0となるのは1≦m≦m2のときであるのは明らか。 従って、mが自然数の場合に限れば、S[m]<0となる最小のmは、m2<mとなる最小のmに等しい。 以上から、6が答。
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- stomachman
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素直にやれば良い問題です。 題意より A[n]=58-2n この番号nの事をindexと呼ぶことにします。 第m群を集合Q[m]で表します。 Q[m]の要素の数を|Q[m]|と書くと、題意より |Q[m]|=2m-1 です。 Q[m]の要素のうち最大のindexを持つ要素のindexをM[m]と書くことにします。ただしM[0]=0と決めておく。 第m群の総和をS[m]と書くことにすると S[m] = ΣA[k] (Σはk=M[m-1]+1~M[m]の総和) です。 まずM[m]を求めましょう。題意から M[1]=1 M[k]=M[k-1]+|Q[k]| という漸化式が得られます。 従って、 M[0]=0を考慮すると M[k]=M[k-1]+2k-1 はk≧1について成り立ちます。ゆえに M[m] = Σ(2k-1)(Σはk=1~m) = Σ(2k-1) = 2Σk-Σ1 = m(m+1)-m = m^2 です。(m^2はmの二乗) さて、ここで T[r] = ΣA[k] (Σはk=1~rの総和) というのを導入しておくと計算が楽になります。 T[r] = Σ(58-2k) = Σ58-2Σk =58r-r(r+1) =(57-r)r これを使って、 S[m] = ΣA[k] (Σはk=(m-1)^2~m^2の総和) = T[m^2]-T[(m-1)^2-1] = T[m^2]-T[m^2-2m] =(57-(m^2))(m^2)-(57-(m^2-2m))(m^2-2m) =2(-2m^2+2m+57)m となります。 S[m]のmを実数だと思えば、S[m]=0は3次方程式 (-2m^2+2m+57)m=0 であり、3つの解 m1=0, m2 = (1+√115)/2, m3 = (1-√115)/2 を持っています。√115≒10.7 ですから、 m1=0, m2 ≒ 5.9, m3 ≒ -4.8 です。 m≧1であって、しかもS[m]≧0となるのは1≦m≦m2のときであるのは明らか。 従って、mが自然数の場合に限れば、S[m]<0となる最小のmは、m2<mとなる最小のmに等しい。 以上から、6が答。
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丁寧に回答していただきありがとうございました。