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n次元ベクトルの外積の定義
siegmundの回答
- siegmund
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siegmund です． oodaiko さん， 身の程知らずの私の穴だらけ回答のフォローをたびたびしていただきまして 大変感謝しています． すごい力作ですね． がんばって読ませていただきます． でも，これは難しい(^^;)． こんなこと言っている私が物理数学など担当することもあるのだけど， 本当に大丈夫なのかな？ > 物理に詳しい方のツッコミをお願いします。 どきっ．口頭試問に呼ばれたような気がした(^^;)． > 「応力」はＲ^3上の3階のテンソルです（6階でしたっけ。) Ｒ^3 上の２階のテンソルですね． 応力は，(a)どの向きの面を通して，(b)どの方向に力が働く， の２要素が必要です． (a)の「どの向きの面」は法線で指定できますから， p(xy) を y 軸に垂直な面(すなわち xz 平面)を通して，x 軸方向に働く力， とすると，３行３列の行列で表現できますから２階のテンソル ｐ = (p_{ij}) ですね．x,y,z の代わりに 1,2,3 と書きました． 似たような事情で，歪みテンソル ｅ = (e_{ij}) が定義できます． ばねの力 F と伸び(or 縮み) x が比例する(F = -kx)というのがフックの法則ですが， ３次元弾性体への拡張は ｐ と ｅ が多重線型(用語の使い方大丈夫ですかね？) であるということで p_{ij} = Σ_{kl} C_{ijkl} e_{kl} (i,j,k,l = 1,2,3) ですから Ｃ = (C_{ijkl}) は４階のテンソルになります． Ｃは弾性コンプライアンス定数(あるいは単に，弾性定数)と呼ばれています． これはk＞nの例になっていますね． そろそろ，添字地獄になっています． 具体例を持ち出さないとわからないのが物理屋(私だけ？)の弱点ですな～． どこか，また誤解しているかも知れません．
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お礼
siegmund先生、物理側からのコメント、ありがとうございます。こうして、数学と物理の専門家、両方に助けていただくと大変心強いです。こういう感じの数学と物理の共同の「教育」みたいなことは、とても大切ですよね。これからもよろしくご指導お願い申し上げます。 私の拙い経験ですと、添字地獄は一般相対性理論のときにもでてきました。添字（よく「足」と呼んでいました）４つとかはよくでてきました。足４本。こうなると計算の見とおしが悪くなって大変でした。