二体の波動関数から電荷密度を求めるには？

質問

量子力学の波動関数から電荷密度を求めるには、一粒子であれば、
q・|φ(x)|^2
ですが、二体の波動関数の場合はφ(x_1,x_2)どうなのでしょうか?
考え出したらわけがわからなくなってしまい困っています。

ボソンとフェルミオンの場合で違うのか、単にスレータ行列式を
一方の粒子の座標だけで、
∫q・|φ(x_1,x_2)|^2 dx_2
のように積分するのか、
混乱してしまい、はまってしまっております。よろしく
お願いいたします。

具体的には、たとえば、調和ポテンシャルあるいは井戸型
ポテンシャルに相互作用の無い二つのフェルミオンあるいは
ボソンを投げ入れたときの問題です。

平面波展開で数表示にしてフーリエ変換するのが正しい
のでしょうか。

回答No.1

motsuan

よくわからないでのすが、しかも、遅い反応ですが、なかなか回答がつかないので。
電荷をある場所に見出す確率という意味であれば
２つの座標で書かれているので
座標x1,x2（スピンも含む）に電子を見出す確率P(x1,x2)=|φ(x1,x2)|が決まって
いるのであれば
Σ{x2についての和}P(x,x2)+Σ{x1についての和}P(x1,x)-P(x,x)
として重複を取り除けばよいような気がしますが粒子を入れ替えても
確率密度では区別できないので（それはφ(x1,x2)の対称性にすでに含まれているので）
最後の項-P(x,x)はいらないような気もします
そこでフォック空間で考えて
座標x,x1,x2（スピンも含む）に対する基底をとって状態を
|φ> = Σ{x1,x2の和}φ(x1,x2)a_{x1}^{+} a_{x2}^{+}|0>
と表し（φ(x1,x2)は適当な規格化係数）
<φ|a_x^{+} a_x|φ>
を計算すれると予想したとおり
Σ{x2についての和}P(x,x2)+Σ{x1についての和}P(x1,x)
となってしまいました。本当でしょうか？

お礼

ありがとうございます。専門家の方から答が返ってきまして大変うれしいです。
今後ともよろしくお願いいたします。
一瞬、フォック空間という単語にたじろいでしまいましたが、数表示のような
ものなのですね。

質問を投稿してから自分でも必死に考えまして、二つのスピン<1|, <2| の磁化
(あるいはS_z)の値を求めるときの話のアナロジーを考えてある程度納得できました。

ただ、非常に不思議なのは、お答えにスレータ行列式を代入すると、
ボソンでもフェルミオンでも全く同じ空間分布となってしまいます。
そういうものなのでしょうか？
自分としては、ボソンの方が、中心に片寄った電荷分布が出て来ることを
勝手に期待したのですが、、、、。