三角比（辺の比率から角度をもとめる）

質問

（問題）
△ＡＢＣにおいて、ａ：ｂ：ｃ＝√5：√2：１の時
(1)この三角形の最大角の大きさ。
(2)ｓｉｎＢの値。
(3)ｓｉｎＣの値。

解答は
(1)→１３５°
(2)→１／√5
(3)→１／√10
です。

比率で、どのようにもとめていくのでしょうか？
最大角はどのようにして分かりますか？(1)が解ければ、他の２つの角度も全て分かるのですか？
ｓｉｎＢ、ｓｉｎＣはどのようにすれば、もとめられますか？
※三角比の問題全般に関して言える事なのですが、問題の中の三角形の形がイメージできません。鋭角なのか鈍角なのかも分かりませんし・・・。（早くコツが解るようになりたいです。）
なので計算方法なども省略されると、多分途中で解らなくなると思います。その点も解りやすく教えていただけると嬉しいです。宜しくお願い致します。

回答No.4

debut · ベストアンサー

問題にそった三角形を、おおまかに描く方法をこの問題について説明すると、
　　・√５にあたる部分の線分を適当にかく
　　　（後のために、真ん中当たりに点を打っておく。これは、√５が
　　　　およそ２.２なので、それを大雑把に２ととらえ、真ん中までを
　　　　１と考えます）
　　・線分の左端の点を中心とする半径√２の円をフリーハンドでうすく
　　　かく
　　　（√２はおよそ１.４なので、これを１.５とみて、線分にとった
　　　　真ん中の点より右側をさらに半分にした所に印をつけて、そこ
　　　　を通るような円を描きます）
　　・線分の右端の点を中心とする半径１の円をかく
　　　（最初に打った真ん中の点を通るような円を描く）
　　・２つの円の交点の１方に、線分の左端と右端から線分を引くと△ＡＢＣ
　　　（円の交点がＡ、最初の線分の右端がＢ，左端がＣとなる）

図からもＡが最大角である目安がつくかと思います。
余弦定理、ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2－２ｂｃcosＡ　より、
　　(√５)^2＝(√２)^2＋１－２×√２×１×cosＡ
　　　　５＝２＋１－２√２cosＡ
　　２√２cosＡ＝２＋１－５
　　２√２cosＡ＝－２
　　　　cosＡ＝－２/(２√２)
　　　　cosＡ＝－１/√２
　　よって、Ａ＝135°。

　sinＢ，sinＣは正弦定理から求めます。
　　ａ/sinＡ＝ｂ/sinＢ　より　√５/sin135°＝√２/sinＢ
　　ａ/sinＡ＝ｃ/sinＣ　より　√５/sin135°＝１/sinＣ　を計算。

補足

☆ cosＡですが、cos45°で1/√2なので-1/√2という事は45°をマイナスするという風に考えるのですか（180°-45°=135°）
☆ ｓｉｎ135°がどのような数字になるのか解りません。鈍角の表は参考書には全くないですし。ん・・・。
ｓｉｎＢ、ｓｉｎＣの計算も詳しく教えていただけないでしょうか？
解らなすぎて、申し訳ないです。

回答No.6

debut

＞でも、いざ自分１人で描くとなると、たぶん難しいですね。
　　三角形に関する鈍角の三角比は120゜、135゜、150゜に限られます
　　から、120゜のときは底辺が１/２、高さが√３/２、斜辺が１の直角
　　三角形で、点の座標は（－１/２、√３/２）。
　　135°のときははＮｏ５の回答。150°のときは底辺が√３/２、高さが
　　１/２、斜辺が１の直角三角形で、点の座標は（－√３/２、１/２）。
　　と、３パターン描ければよいです。

　　または、この３つを表にでもして覚えておくとよいかもしれません。
　　　　　　　120°　｜　135°　｜　150°
　　　sin　｜√３/２｜１/√２　｜１/２　　｜
　　　cos　｜－１/２｜－１/√２｜－√３/２｜

＜sinＢ、sinＣ＞
　ａ/sinＡ＝ｂ/sinＢ　より　√５/sin135°＝√２/sinＢ
　　両辺にsin135°をかけて　√５＝(√２/sinＢ)×sin135°
　　両辺にsinＢをかけて　　√５×sinＢ＝√２×sin135°
　　sin135＝１/√２だから　√５×sinＢ＝√２×(１/√２)
　　　　　　　　　　　　　　　　√５×sinＢ＝１
　　両辺を√５で割って　　　　sinＢ＝１/√５　です。

　sinＣもこのまねをしてａ/sinＡ＝ｃ/sinＣから計算してみてください。
　ただし、(１/√２)÷√５は(１/√２)×(１/√５)です。

では、がんばってください。

お礼

がんばってみました！
ひとつひとつ思い出しながら、当てはめながらの計算になるので、お返事が遅くなり申し訳ないですm(__)m
イメージをつかもうと円の中に三角形を描いて、解いてみました。
まずは、半径を１にして・・・。
ｓｉｎＢの解説を参考にして、ｓｉｎＣを解いてみる・・・っと、出来ました！！
ありがとうございました♪

回答No.5

debut

Ｎｏ４です。
　鈍角のsin,cosの値は、ｘ軸、ｙ軸がある平面で、原点に中心をもつ
　半径１の円（単位円という）をかいて求めます。この場合の角度のとり
　方は、ｘ軸の正の部分が０°として、反時計回りに見ていきます。
　円を丸い時計にたとえると、０°が３時、30°が２時、60°が１時、・・
　・・、180°が９時、というふうに見ます。

　例えばcos60°の値を知りたいとしますと、その円で、３時方向から
　60°、つまり１時の所に点Ａをとると、その点Ａのｘ座標がcos60°の
　値になります。
　なぜかというと、Ａと原点を結び、またＡからｘ軸に垂線を引くと直角
　三角形ができますが、これは斜辺が１、底辺が１/２、高さが√３/２に
　なります。（辺の比２：１：√３で２の所を１に考える）
　※斜辺を１としたのは円の半径が１だからです。
　cosθ＝底辺/斜辺ですからcos60°＝１/２で点Ａのｘ座標になる
　大切なのは、＜単位円上の点で、ｘ座標はcosの値、ｙ座標はsinの値＞
　になるということです。
　※ｙ座標がsinになることは「sinθ＝高さ/斜辺」で確認ください。

　これらをふまえると、sin135°は10時と11時の真ん中に点Ａをとって
　ｘ軸に垂線をおろす、原点と結ぶ、で45°の直角三角形が作られます
　ので、辺の比１：１：√２の斜辺√２を１として、１/√２：１/√２：１
　を考えれば、点Ａの座標は（－１/√２,１/√２）となりますので、
　sin135°＝（ｙ座標）＝１/√２。　ちなみにcos135°＝－１/√２。

高校の授業でも２，３時間はかけるようなことを数行で、しかも文章で
理解するというのも難しいかもしれないので、三角関数、単位円などで
検索すると、詳しいサイトもあるかと思いますので見てみるといいでしょう。

　sinＢ，sinＣの計算は、前回のご質問での後半での sin45°をsin135°
　とみて同じようにやってみてください。

補足

さっそく、debutさんのご指導通りに図を描いてみました。「こうなるのですか・・・」鈍角の時は、反時計回りですね。でも、いざ自分１人で描くとなると、たぶん難しいですね。
ｓｉｎＢ、ｓｉｎＣは、まだ出来ません。
三角比って難しいです。

回答No.3

kensaku58

さきほどのNO.２です。質問者の方の年齢をかってに想定した文章を書いてしまい、大変失礼致しました。教科書をお持ちでなかったり、文面に苛立ちを覚えました場合、ご容赦頂くよう御願いします。

補足

こんにちは。忙しい年末に２度もメールを頂き、私の方が恐縮してしまいます。
参考書は購入したのですが、（kensaku58さんの予想通り）教科書はもう手元にありません。ホント、教科書があればもっと解りやすいと思います。数学は元々苦手な科目でしたので、長らく手をつけていないと、公式、法則すら“こんなの勉強していたんだよね・・・？”の状態なのです（汗）
NO2の回答は、まだきちんと読んでいないのですが、お気にされているようですので。取り急ぎメール致しました。NO2を参考に解いてみて、もし解らない点があればまた質問させて頂きます。

回答No.2

kensaku58

(1)最大角の求め方
　√５と√２と１ではどれが一番大きいでしょうか？
⇒辺aの√５が最大です。「なので」向かいにある角Aが一番大きい角です。辺bの√２が２番目に長いです。「なので」向かいにある角Bが二番目に大きい角です。辺cが長さ１で最小「なので」、角Cが最小です。
(2)最大角の大きさの求め方
角Aが一番大きいと分かったので、
a^2=b^2＋c^2-2bc cosAの法則に数字を入れてください。cosA=-1/√2　だから135°になります。 　
☆どの法則が役にたつかな？ということを自分で考えて選ぶのがこの問題のミソです。（法則は教科書のはじめのほうにまとめてかいてあるはずです。）
☆例えばsin45°はいくらか、cos120°はいくらかと　いうことは知っていないとこの問題は解けません。（これも教科書のはじめのほうにあります）
(3)三角形の形のイメージの仕方
⇒辺aを一番長く、辺bを二番目に長く、辺cを三番目に長くした三角形を書いてください。三角形ができたら対応する角にA,B,Cと振ってください。(2)と同じ法則の別バージョン（教科書参照）で角B、角Cの大きさも求まりますので、それを参考に三角形を書いたら出来上がりです。
☆実はこの手の問題なら、三角形を正確にイメージする必要はありません。「適当に三角形を書き」各頂点に角A,B,C　とふったら辺a,b,cの長さ、角A,B,Cの大きさを書き込んでみましょう。あとは法則に数字をあてはめるだけです。（問われているのがsinBやら角Aの大きさだからです。辺の長さを聞かれても、正確な三角形を書く必要はありません。）ここは適当に聞き流して下さい。
(4)sinBの値の求め方
⇒これはやや高度な法則の
　a／sinA=b／sinB=c／sinC=2Rを使ってください。
　a／sinA=b／sinBの部分でいけます。
(5)sinCの値の求め方
⇒(4)と同じです。
　a／sinA=b／sinB=c／sinC=2Rのうちの
　b／sinB=c／sinCかa／sinA=c／sinCに代入してください。この法則も教科書にのっているはずです。さっきの法則より数ページ後ろにあると思います。

ポイントは
・sin90°はいくらかcos60°はいくらかなどをしっていること
・正弦定理や余弦定理といった法則を暗記しており、使える法則を自分で選び、計算すること（計算は省　略してしまってすいません）
だと思います。間違えていたらお許しください。

回答No.1

makibao

（１）の問題は余弦定理を使います。
（２）の問題については、（１）を使って、
正弦定理　a／sinA=ｂ／sinB　の関係を使えば（２）の答えが出ます。
（３）は 180°-（A+B）を使えば答えが出ます。

やり方が違っていたらごめんなさい。

お礼

お返事ありがとうございます。
回答は参考にさせていただきます！