大学数学の勉強方法について

質問

私は文系の大学を卒業した後、高校1年生のときにあきらめてしまった数学の勉強をもう一度やりたいと思い、1年間で高校数学を復習し、（お金がないので）某大学に二年次編入しました。

なので、１年生と２年生の専門科目を同時履修している状態なんです。
それ自体ちょっと無理があるのですが、前期は勉強の仕方が分からないまま、がむしゃらにやってきました。

後期になってから、ただ問題を解くような勉強では理解できていない気がしてきました。
それから、勉強の仕方を変え、とにかく定義と定理の理解に努めました。
定義の解釈はこうで間違っていないか、何のためにこの関数をもってくるのか等、自分でも分からないときは先生に質問をしにいきました。

特に位相が理解できるようになってきて感動したのですが、新しい問題がでてきました。
実は、私は微分積分の計算ができないんです。
（本当に初歩の簡単なものだけできます）
こんな言い訳は見苦しいですが、私は高校二年生から文系コースだったので、数II、B、III、Cを習ったことがないんです。

前期はテスト問題が微分をゴシゴシ解くような問題ではなかったので、どうにかなっていました。解析学１はεδ論法での証明がほとんどで、解析学２は不動点定理を使った逆関数定理の証明だったので…。
正直、私はこういう証明のほうが好きです。
ですが、後期は解析学１も２も積分、重積分の変数変換ということで、バリバリ問題を解くようなテストになりそうなんです。
テストの点数だけ取れればいいとは思いませんが、計算ができないというのは大問題です。

問題を解くための勉強と理解をするための勉強とをどうやって両立していけばいいのでしょうか？
勉強時間がとにかく足りません。
また、積分って微分を知らないとできませんよね？
微分から勉強するべきでしょうか？

回答No.1

teuu · ベストアンサー

すごい熱意ですね。
解析は苦手です。特に証明は・・・

初歩の微積は簡単ですよ。

積分を知るには、微分から・・・
じゃなくて
極限からです。
いぷしろんでるたやったのならわかると思いますが。

要はデルタｘです。
放物線を思い浮かべてください。
そのうちｘ１とｘ２の点をとりますよね。
それに対応するy1、y2の座標もあります。
ああ、a1(x1,y1),a2(x2,y2)といったほうがわかり易いかな。
a1とa2の２点を限りなく近づけていきます。
放物線上で、ですよ。
そうすると、
a1からa2に引っ張った線分があって、
a1とa2がほぼ重なるところまで近づけると、
その線分がa1での放物線の傾きになりますよね。

これが微分の基本です。
極限の分野に載ってる式の意味です。

次に積分。
積分は区分求積法というものが基本です。
区分求積法で検索すれば出てくると思いますが、
積分区間をデルタxの限りなく細い長方形で近似して、
積分を求める(面積を求める)というものです。
シグマの極限値をインテグラルと書き換えるというものと同様です。

次に基本がわかったということで計算方法ですが、
特殊なものがいくつかあります。
たとえば分数の微積法や、部分分数展開などですね。

こういったものは大学数学用の解析の演習問題集とかでもいいんですが、
大学受験用の数３の参考書・問題集のほうが詳しいかもしれません。

ついでに、極座標の部分も高校数学の教科書で見ておいたほうがいいかもです。
x-yのデカルト座標ではなく、r-θの極座標表示をしたほうが計算が楽になる場合があります。
それが重積分などの解法の手法です。

大学生協などの書籍部にいけば、
いくつも問題集や詳しい参考書などがおいてあると思います。
解答が詳しいものを選んで購入するといいと思いますよ。

所詮はパターンなので、覚えてしまえば楽です。

この後進むであろう複素解析の分野でも使用しますので、
早めにやっておいたほうがいいですよ～

と、複素解析再履修させられた私ですが、
簡単なアドバイスでした　笑

お礼

親切・丁寧な回答ありがとうございました。

＞シグマの極限値をインテグラルと書き換えるというものと同様です。
これ、知りませんでした。
そもそも微分積分で何をするのかよくわかっていなかったんですよね。
最近、ようやく重積分の変数変換において、なぜヤコビアンが面積の近似の比になるのかっていうことが理解できてきました。（まだ途中段階ですが）
それを理解するのにそもそも偏微分する意味がわからなくて、それを突き詰めていくと「微分して何がでてくるのかわかっていない…」ということに気がついたんです。

区分求積法はこの間、理解しました。
解析学２で先生に「説明してください」って言って教えてもらいました。（相当浮いてましたが…）

極限の計算からですか…。そうなんです。実はそれもわからないんです。そもそも数列も三角関数もよくわからないんです。
「友人に加法定理を使えばいいじゃん」っていわれて「加法定理って何？」って聞いたら、驚かれちゃいました。
あれも、覚えなきゃ使えませんよね…。

分からないことだらけでへこんできましたが、とにかく一つずつやっていかなきゃどうにもならないってことがよくわかりました。
軽いパニックをおこしてたのかもしれません。
今私ができることを一つずつやっていこうと思います。
ありがとうございました。

teuuさん、複素解析頑張ってください（笑）
私は最近、位相に燃えてます！
わからなくて悶々とすることも多いですけど、数学って楽しいですよね。

回答No.3

teuu

追記

三角関数などはオイラーの公式からやれば楽ですよ
いちいち高校に戻る必要なんて無いです

偏微分を理解するために、
つるかめ算→一文字固定法→偏微分と来るような物です。

オイラーからやれば、
２倍角の公式その他もわかりますしね。
なんにせよ、高校数学の参考書は一通り目を通すのもいいかもですね。

お勧めは、駿台の、高校数学ハンドブックかな。

お礼

偏微分を理解するためには、xの微分を考えて（xを固定してyを自由に動かす）、yの微分を考えて（yを固定してxを自由に動かす）…という風に別の座標で考えてみて、その合成だと考えればいいのだと思っていましたが。
文字固定法とはまた少し違うのでしょうか？

駿台の『高校数学ハンドブック』ですね。
今はじめた問題集が終わったら、早速みてみます☆
親切に教えてくださり、本当にありがとうございました。

回答No.2

ojisan7

すばらしいことだと思います。数学の素質（センス）がありそうですね。確かに、大学の数学は定義と定理の理解が基本になります。そして、証明ですね。それが、分かっていらっしゃるのですから、大学数学の勉強法は、そのまま、自分なりの方法でやっていけると思います。

しかし、理論は理論として、計算力がなければ実際の場面では役に立ちません。計算力は反復練習しかありません。しかし、この計算力には数学的なセンスは余り必要としません。（多少は必要でしょうが・・・）頑張って下さい。

お礼

ojisan7さん、ありがとうございます。
自分は本当に数学をやっていけるのかとか、素質があるのかとかすごく不安になりますし、誰かに「私って素質あると思いますか？」って聞きたくなるときもあります。
ですが、まだまだ数学の素質を問うまでの段階に至っていないと思うので、今はojisan7さんのいうように自分が信じるやり方でやっていこうと思います。
自分の努力で自分のセンスを磨いていきたいと思います。

計算力は反復練習…もっともですよね。
昨日から微分積分の問題集をはじめました。一日10ページ問題を解けたら、位相の勉強をしてもいいという誓いをたてました。
今日二日目でまた10ページやりましたが、計算とはいいつつも10ページやるのに6時間もかかってしまいました。

でも、こつこつやっていこうと思います。
ありがとうございました。