確率について

質問

こんにちは。数学の確率についてわからない問題があったので皆様にアドバイスしていただきたく書き込みました。答えではなく答えを出すためのヒントについて教えていただきたいので、よろしくお願いします。
--------以下問題--------
いま稀にしか起こらないある特別な病気（例えばHIV）を発見する検査法があるとする。この検査法が実際にその病に冒されている人（A群）に適用されるならば97%の確率でその病気であることを発見することができる。一方、健康な人（B群）にこの検査法を適用すると、その5%の人が病気であると間違った診断結果をもたらす。さらに、別のある軽い病気にかかっている人（C群）にこの検査法を適用すると、その10%の人が病気であると誤診する。
多数の人を調べたところ、A群の人、B群の人、C群の人の割合はそれぞれ、1:96:3であった。さて、任意の１人に対してこの検査法を適用したところ、陽性反応（その病気にかかっているとの反応）が得られた。 このとき、この人が本当にその病気にかかっている確率はいくらか？
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確率の問題ですが今まで私の習った確率ではコインの表・裏、サイコロといった問題ばかりだったのでこのような出題にどのように考えて、公式を利用するのかがよくわかりません。今までにはベイズの定理や独立事象の乗法の定理を習ったのですがやはりこれらの定理の応用問題なのでしょうか？簡単なアドバイスでいいのでよろしくお願いします。

※このような質問も削除対象になるのでしたら即刻終了いたします。

回答No.8

age_momo · ベストアンサー

#3です。少し補足します。

分かり易いように10000人としましたが一人の場合で
考えたのがベイズの定理になります。(確率で書き下してみましょう）

ある人が
Aである確率・・・0.01
Bである確率・・・0.96
Cである確率・・・0.03

Aであって陽性反応が出る確率・・・0.01*0.97=0.0097
Bであって陽性反応が出る確率・・・0.96*0.05=0.048
Cであって陽性反応が出る確率・・・0.03*0.1=0.003

結局、ある人が陽性反応が出る確率・・・0.0097+0.048+0.003

陽性反応がでた→確定した→この数字が100%になったときのAの確率
0.0097/(0.0097+0.048+0.003)

下の回答はこれを10000倍して人数で考えられるようにしただけですよ。

お礼

回答の補足ありがとうございます！
とてもわかりやすく、最初の回答がさらに理解できる補足ですね。理解力のない私にはうれしい限りです。丁寧な説明ありがとうございます。

補足

さきほどの回答で言葉足りない部分が多々あったので補足として書き込ませていただきます。
Cerberus_2005さん、0123456789Aさん、age_momoさん丁寧に教えていただきありがとうございました。
このような質問にもすぐにアドバイスをくださって、感謝しています。
ポイントについてはみなさん全員に、としたいところですができないのが残念です。
本当にありがとうございました。これにて質問を終了とさせていただきます。

回答No.7

0123456789A

No2です
なるほど、少し難しく考えすぎていたようです。
かえって混乱させてしまったらすみません。
ベイズの定理でも解けないこともないようですが、
No3の方の回答が非常にわかりやすくていいと思います。

お礼

わざわざありがとうございます。
アドバイスのとおり、まずはNO３の方のやり方でやってみようと思います。しかし、ベイズの定理を使った解き方もせっかくですので調べてやってみようと思います。

回答No.6

noname#14460

すいません、私が勝手に問題文を勘違いしてただけです。

ただ、少し疑問なのですが、この問題はベイズの定理を利用しなければならないのですか？
利用しなくてもいいのなら、高校程度の知識で割と簡単に解けると思うのですが。
勘違いしてた私が言うのもなんですが。

補足

補足させていただきますね。
最初はよくわからなかったので、習っていたベイズの定理の応用でしか解けないものなのでは？と思いこんでいたのです。ですからベイズの定理を利用しようと考えていたのですが・・・教わっていくうちに別の方法でも解決できそうなのでそちらの方法にしたいと思います。しかしせっかくなのでベイズの定理ではどのようになるのか・・・調べてがんばってみようと思ったのです。

回答No.5

noname#14460

No.5です。
すいません少し問題を勘違いしてました。
その病気と診断される人の期待値を出してました。
この問題はそれぞれのグループの病気と診断される人数の中からAグループに含まれる確立を出せばいいです。

お礼

何度もありがとうございます。
詳しく解説していただいたのに私の説明不足でお手を煩わせてしまったようですね。すみませんでした。

そうですね、みなさまにアドバイスをいただいてCerberus_2005さんもおっしゃってるとおり、
“それぞれのグループの病気と診断される人数の中からAグループに含まれる確立を出せばいい”ということと、ベイズの定理の応用であるということはわかってきました。この問題をベイズの定理でどのように計算していけばいいかまだはっきりわからないので自分でも調べているところです。他にも何かありましたらご指摘お願いします。

回答No.4

noname#14460

No.1です。
期待値は平均と少し似てるんですが。
まず全体の人数を100人と考えます。
すると、Ａに属する人は1人、Ｂに属する人は96人、Ｃに属する人は3人と考えることが出来ます。
これでそれぞれの病気の可能性を考えれば、全体として何人病気かがわかりますよね。
あとはそれが全体の何パーセントなのかを考えれば1人あたりの病気になる確立がでます。

これでわかりました？
まだ不足なら更に補足しますが、次は少し時間がかかると思います。

回答No.3

age_momo

例えば10000人に対して検査したと考えてみてください。
まず、それぞれの人数は

A:B:C=1:96:3=100:9600:300

それぞれ陽性になる人数は

100*0.97=97
9600*0.05=480
300*0.1=30

10000人検査したら607人が陽性になります。
検査で陽性になった人のうち本当に病気の
97人に入っている確率を求めるだけですね。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてすみませんでした。

なるほど、このような考え方もあるのですね・・・参考にさせていただきます。ありがとうございます。

回答No.2

0123456789A

まさにベイズの定理ではないでしょうか。
検査で陽性になる確率をXとすると、
P(X|A)=0.97
P(X|B)=0.05　(誤って検出されるという言葉に惑わされないで)
P(X|C)=0.1　(同上)
で、求める確率はP(X)

ん～ちょっと難しい問題ですねぇ

お礼

お早い回答ありがとうございます。
やはりベイズの定理の応用問題ですか・・・
先ほどいただいた回答とはまた違ったアドバイスなので少々混乱していますが、これはベイズの定理をもう少し調べてよく理解する必要があるみたいですね。
難しい問題とおっしゃられているので不安ですががんばってみようと思います。
まだまだいろいろなアドバイスを聞きたいのでもう少し質問を続行したいと思います。

回答No.1

noname#14460

これは期待値の問題ですね。
期待値と言うのは宝くじ一枚あたりのもらえる値段を出すときなどに使います。

たとえば、「問題を３問出して３問とも正解した人は全体の１０%、２門正解した人は４０%、１門正解した人は３０%、１門もあたらなかった人は２０％でしたではこのテストの１人あたりの期待値はいくらでしょう」と言う問題なら、

3×0.1＋2×0.4＋1×0.3＋0×0.2＝1.4

となり期待値は1.4となります。
これが期待値です。
質問の問題は人数は分かりませんが比は分かっているのでそれからＡ，Ｂ，Ｃの病気にかかっている人をそれぞれ考えればよいです。

こんな感じでよろしいでしょうか？
もしわからなければ補足します。

お礼

お早い回答、ありがとうございます。
期待値ですか・・・期待値についてはよくわからないのでちょっとピンときませんが、例題で少々納得できたと思います。
しかし、どうも期待値で説明できるような気がしません。例題のように考えてもＢのグループは病気にかかっていない人たち、Ｃのグループは別の病気にかかっている人ですよね？全く違う対象者に対しても期待値は利用できるのでしょうか？