- ベストアンサー
極限値？
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
微分係数はxの増分に対するyの増分の比の極限を取った極限値で定義されますが、逆は正しくないですね。 極限値は微分係数のために利用されるものではないですね。 lim (1+n)^(1/n)＝e n->∞ sin x lim ------- = 1 x->0 x などの右辺は極限値ですが微分係数と直接関係があるわけではないですね。
関連するQ&A
- 極限の考え方について
高校数学で、微積を習いました。微分、そして微分を行う際の考え方として極限値をとったと思いますが、その極限値を求める際の厳密な理論を教えて欲しいのです。高校のときは、サラッと流したというか、大学で詳しく習うとか言われて、詳しく教えてくれなかったと思うので。 微分係数、導関数を求める際に、極限をとりましたが、その時、ｈ→０としたと思います。 １ ｈを限りなく0に近づけるけれども、０ではない。（約分できる） ２ ０とみなされる（０とおける、０と考えられる）ので消去できる。 ｈ→０にはこの二つの意味があったと思います。しかし、これって本で読みましたけど、なにかすっきりしませんよね。（矛盾してるというか・・・） 例を出せば、ｙ＝ｘ＾２（xの2条）の導関数を導くとき極限をとると ２xΔｈ+Δｈ＾２（デルタｈの2条）/Δｈ＝ ２ｘ+Δｈとなり ２ｘとなりますが この時の考え方としてΔｈは０ではないから約分できて２ｘ+Δｈとなり、Δｈは０とみなし２ｘとなる。 だったと思います。しかしこの考え方だと都合の良い解釈だと思うんですよ。２ｘ+Δｈから２ｘになるのにΔｈを０と考えるんだったら、その前のΔｈで約分するのもおかしいし（約分出来ないのでは？）、逆に約分できる（０でないので）のであれば、２ｘ+ΔｈからΔｈをなくすのも？と思うんですよ。 実際、書物を読むと、18世紀、ニュートンとかライプニッツが微分（極限のとり方）を発表した時、かなり批判があったと聞きます。おかしいと。そして、この極限の考え方が正しいと証明されるまで約100年要したとありました。 その正しいと証明された考え方（理論）をどなたか教えてください。もしくはこのテキストをみれば解るという書物があればその書名も教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題（？）だと思います・・・
「f ''(a)not=0ならば、f(a+h)=f(a)+hf '（a+θｈ）においてｈ→0のときθ→1/2となることを示せ。」という問題を解くにはどうやったらいいでしょうか？私は式を変形後、極限値の計算公式や微分係数の定義を使ってみたんですが、よくわかりません。ヒントでもいいのでよろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限がさっぱりわかりません。
今数3教科書の極限をやっているのですが、 r≠-1のとき、{r^n/(1+r^n)}の極限を求めよ。 と言う問題が分かりません。 普通に考えたら、{ar^n}の極限はrの値によって場合分けできますが、上の問題の場合 等比数列の形になってません・・・ 教科書は数列の一部であるrの値で場合わけしてますけど、なぜこれでうまくいくんですか？？ 教えてください！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題について質問です
極限の問題について質問です 教科書のロピタルの定理のセクションに載っていた問題です。 lim[x→0] ((1+x)^(1/x)-e)/x という極限を求めるのですが、答えは-e/2で、いくつかの参考書で確認しました。 しかし、どれも答えだけしかのっていないので、解き方がわからない状態です。 ロピタルの定理を使って分母分子を微分してみるのですが、何度ロピタルを使っても不定形になってしまい、 いつまでも答えの値がでないのです。 他になにか解き方が有るのでしょうか？ぜひ教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数関数の微分、極限
指数関数の微分、極限 答えがないので、答え合わせをしていただきたいです。 x/e^x -1の微分です。 第一次微分→e^x -1 - xe^x / (e^x -1)^2 第二次微分→xe^3x - (x+2)e^x + 4e^2x - 2e^3x / (e^x -1)^4 大変見にくくて申し訳ありません！ そして、それぞれの極限値（x→0）はどちらも0になりました。 極限値はロピタルの定理を用いたのですが、特に第二次微分の方が訳が分からなくなってきてとても自信がありません・・・ ご回答どうぞよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限 証明
極限 証明 lim[x→∞]（1+（1/x））＾x＝eの証明はどのようにすれば良いでしょうか？ [証明] (logx)'=1/x より，x=1における微分係数は1である。 したがって，微分係数の定義式から lim[h→0]（log(1+h)-log1）/h=1 左辺を変形して lim[h→0]（1/h）・（log(1+h)）=lim[h→0]log(1+h)^（1/h）=1 また、 1/h=x すなわち h=1/x とおくと，x→±∞のときh→0であるから lim[x→∞](1+1/x)^x =lim[x→-∞](1+1/x)^x =lim[h→0](1+h)^1/h=e また、以下が理解できません・・・ lim[x→∞](1+1/x)^x=lim[x→-∞](1+1/x)^xはなぜ等しいのでしょうか？ そして、lim[h→0](1+h)^1/h=eとしている理由がわかりません。なぜいきなりeが出てくる？ logはどこにいったのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限をつかった定義式からの関数の微分がうまくいきません。
極限をつかった定義式からの関数の微分がうまくいきません。 log(2x) sin2x sinx^2 ain(1/x) これらの関数の極限をつかった定義式からの微分がなんともうまくいきません。どなたか分かる方がいらっしゃいましたら解説をよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。高校生なのでsinXを使った極限の式はわかりませんが、参考になりました。