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関数の問題？
endlessriverの回答
- endlessriver
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f(x)=f(1-x)を順次微分していくとf{n}(x)=f{n}(1-x)(-1)^n となります。f{n}はn回微分。x=0を代入すると (1) f{n}(0)=f{n}(1)(-1)^n f(x)をn次の整式Σ[0,n]an・x^nとすれば (2) f{n}(x)=n!an (3) f{n-1}(x)=(n-1)!a(n-1)+n!an・x (2)を(1)に代入して n!an=n!an(-1)^n すなわち (4) n!(1-(-1)^n)an=0 まずnが奇数ならan=0となる。 nを偶数として(3)を(1)に代入して (n-1)!a(n-1)={(n-1)!a(n-1)+n!an}(-1)^n すなわち、 (5) 0=n!an すなわち、an=0となる。 故に、いずれにしても次数は1つ減る。これを順次、適用して次数を下げて行くが、最後で(4)と(3)をn=1には適用すると f{0}(x)=a0+a1・x=a0(a1=0)となり、f(x)=a0となります。
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