距離で片方の点のZ1を求めるとき

質問

二点X0,Y0,Z0とX1,Y1,Z1がある時、
距離を求めるのは下記の式でと教えて頂いたのですが、
距離 = √((X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2+(Z0-Z1)^2)

これを使って距離やZ1以外がわかっているときに
片方の点のZ1を求めたいのですが、
どのようにしたらいいでしょうか?

距離 = √((X0^2-2X0X1+X1^2)+(Y0^2-2Y0Y1+Y1^2)+(Z0^2-2Z0Z1+Z1^2)

距離 = (X0+√(-2X0X1)+X1)+(Y0+√(-2Y0Y1)+Y1)+(Z0+√(-2Z0Z1)+Z1)

とやってみたのですが
これからどうやってZ1を動かそうか????
[特にこの部分が√(-2Z0Z1)]
となってしまいました
この時点で間違ってるのでしょうか?
文字式で出したいのですがよろしくお願いいたします
m(__)m

回答No.4

puni2 · ベストアンサー

前の（No.3の）やり方ですが，ちょっと不十分なところがあります。

距離（以下dと書きます），(x0,y0,z0), (x1,y1,z1)のうちz1以外の値が与えられている，というのが条件ですが，この条件が信用できる（言い換えれば，この距離dの値は，実際に2点間の距離を求めた結果である）という保証が最初からあるのであれば，No.3のやりかたで求まります。

しかし，たとえば
d=1
(x0,y0,z0)=(0,0,0)
(x1,y1,z1)=(1,1,z1)
なんていう条件だと，(x1,y1,z1)は原点を中心として半径1の球面上に無ければならないわけですから，どうがんばっても条件を満たす(1,1,z1)は存在しません。
そういう“意地悪”なデータも出てくる可能性があることを考慮に入れると，次のようにやり方を修正する必要があります。

まず，「両辺（≧0）のルートをとります。」の上の行まではそのままで良いです。
問題はそこから先で，おかしなデータの場合は両辺が非負という保証はないので，きちんと方程式を解く必要があります。

d^2 － {(x0-x1)^2+(y0-y1)^2} ＝ (z0-z1)^2
これをz1に関する2次方程式と見て，
z1^2 - 2z0z1 + {z0^2 － d^2 ＋ (x0-x1)^2 ＋ (y0-y1)^2} ＝ 0
あとは解の公式を使ってください。

ちなみにこれの判別式を出してみると，
D＝4z0^2 － 4{z0^2 － d^2 ＋ (x0-x1)^2 ＋ (y0-y1)^2}
＝4{d^2 － (x0-x1)^2 － (y0-y1)^2}
で，{ }の中は結局(z0-z1)^2に等しいですね。
つまり，「距離の2乗よりも(x0-x1)^2 ＋ (y0-y1)^2のほうが大きい場合は，(z0-z1)^2＜0にならなければならないので，これを満たすような実数z1は存在しない」ということです。

お礼

有り難うございます。
そうですね 出来ないこともあるんですね....
じっくり読んで理解して使わせて頂きます。

回答No.3

puni2

最後から2番目の式を，一番最後の式に変形するところが違います。
一般的な形で書くと，
√(a+b+c)＝√a+√b+√c　にはなりません。
（ためしにa=b=c=1を両辺に代入してみると，√3＝3になってしまいますね）

>距離やZ1以外がわかっているときに
ということは，z1以外の座標値や距離は全部分かっているときにz1を求める式を作りたい，ということですね。
（言い換えれば，一番最初の式をz1について解く）

（読みにくいので，変数は小文字を使わせてください）

まず，最初の式
距離 = √{(x0-x1)^2+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2}
の両辺を2乗します。
距離^2 = (x0-x1)^2+(y0-y1)^2+(z0-z1)^2
z0やz1を含まない項を左辺に。
距離^2 － {(x0-x1)^2+(y0-y1)^2} ＝ (z0-z1)^2
両辺（≧0）のルートをとります。
√[距離^2 － {(x0-x1)^2+(y0-y1)^2}] ＝ | z0-z1 |　 ←　√(a^2)＝|a|を用いました。
つまり，（ここから両辺を入れ替えて書きますが）
z0≧z1のときは　z0-z1＝√なんとか
∴　z1＝z0－√なんとか
z0＜z1のときは　z1-z0＝√なんとか
∴　z1＝√なんとか－z0
まとめて書くと，
z1 ＝ | z0－√[距離^2 － {(x0-x1)^2+(y0-y1)^2}] |

あってるかなあ。

回答No.2

debut

＞距離 = (X0+√(-2X0X1)+X1)+(Y0+√(-2Y0Y1)+Y1)+(Z0+√(-2Z0Z1)+Z1)
はできません。
たとえば、√(a^2+b)とあるとき、a+√bにはなりません。注意してください。

変形の仕方は、（距離をＤとします）
最初の式　距離 = √((X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2+(Z0-Z1)^2)　の両辺を２乗
して、Ｄ^2＝(X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2+(Z0-Z1)^2　とし、(X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2
を移項しますと、
　(Z0-Z1)^2=Ｄ^2-(X0-X1)^2-(Y0-Y1)^2　となり、Z0-Z1について解くと
　Z0-Z1=±√{Ｄ^2-(X0-X1)^2-(Y0-Y1)^2}　となり、さらにZ1について
　解く（Z0を移項）と出したい式が得られるかと思います。

お礼

有り難うございます。
やはり違ってましたか...orz
助かります。

回答No.1

theisman

距離をLとおけば、両辺を2乗して、
(X0-X1)^2+(Y0-Y1)^2+(Z0-Z1)^2 = L^2

(Z0-Z1)^2 = L^2 - (X0-X1)^2 - (Y0-Y1)^2

と、変形してしまえばいいのでは?

お礼

有り難うございます。
もう片方に変化させるという手があるんですね(^^;