解析

質問

Darbouxの定理を使った以下の同値を求めたいのですが、

（１）S=s
（２）∀ε＞０、∃δ＞０　ｓｔ　∀Δ satisfing |Δ|<δ,0≦ＳΔーｓΔ＜δ

今　Ｓ＝ＳΔ、ｓ＝ｓΔ（ｎ→∞）

方針がいまいち分かりません。
積分の定理からしたがいいのでしょうか？
それともDarbouxの定理を証明することで解けるのでしょうか？

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

まず，記号や説明でおかしな点を正しておきたい
と思います。

（誤）0≦ＳΔーｓΔ＜δ →（正）0≦ＳΔーｓΔ＜ε
（誤）Ｓ＝ＳΔ、ｓ＝ｓΔ（ｎ→∞）
→（正）lim_(|Δ|→0) SΔ = S，lim_(|Δ|→0) sΔ = s

ここでいうDarbouxの定理は，おそらく
　　　lim_(|Δ|→0) SΔ = S，lim_(|Δ|→0) sΔ = s
が成り立つことでしょうが，この定理の成立
（極限値の存在）は前提としているのですよね？

　本命題はDarbouxの定理そのものではありませ
んが，証明のテクニックはほとんど同じです。
証明の難しいところは，Sの近似の分割とsの近似
の分割を一般に選ばなければならない点です。
そこをクリアするために三角不等式を用います。
以下では，証明のアウトラインだけ書いておきます
ので，細かい点はご自身で補っていただけますか。

「前提」より，任意のε>0に対して
　　|S-S(Δ1)|<ε，|s-s(Δ2)|<ε
を満たす分割Δ1，Δ2が（εごとに）存在します。

(2)⇒(1)：Δ1とΔ2を合わせた分割をΔ（ΔはΔ1とΔ2
の両方の細分）として（必要ならさらに細分して）
|Δ|<δを満たすようにすると，
　　S-s = (S-SΔ)+(SΔ-sΔ)+(sΔ-s)
とみることにより，三角不等式を用いて
　　|S-s|≦|S-SΔ|+|SΔ-sΔ|+|sΔ-s|<3ε

(1)⇒(2)：Δ1とΔ2を合わせた分割をΔとすると
　　s(Δ2)≦sΔ≦SΔ≦S(Δ1)
が成り立つことから
　　|SΔ-sΔ|≦|S(Δ1)-s(Δ2)|
であることに注意します。
　　S(Δ1)-s(Δ2) = S(Δ1)-S+S-s+s-s(Δ2)
に三角不等式をあてはめて
　　|SΔ-sΔ|≦|S(Δ1)-s(Δ2)|
　　≦|S(Δ1)-S|+|S-s|+|s-s(Δ2)|<ε+0+ε

お礼

ありがとうございます。
参考にして解いていきたいと思います。