曲げ応力算出式の導き方

質問

アスファルト舗装材の曲げ試験（舗装試験法便覧）において、
破断曲げ強度σ=3LP/2bh^2 破断ひずみε=6hd/L^2 L：支点間距離、P：荷重、ｂ：供試体の幅、ｈ：供試体の厚さ、ｄ：たわみ　と定義されています。
また、JIS K 7203 硬質プラスチックの曲げ試験方法においても、曲げ強さとして同じ式が定義されています。
どうしてこれらの式で定義できるのか、式の意味が分かりません。
また、これらの式をゴム系の材料に適用しても良いものでしょうか？
一応材料力学の本も読んでみましたがこれらの式を導く事が出来ませんでした。どなたか教えていただけませんでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.2

k_riv · ベストアンサー

単純梁の中央に集中荷重(P）が作用したときの中央点の曲げモーメントは，
M=PL/4
長方形の断面係数は,
Z=bh^2/6
曲げ強度は,
σ=M/Z=(PL/4)/(bh^2/6)=3PL/2bh^2　・・・(1)

中央点のたわみは,
d=PL^3/48EI
E=の形にして,
E=PL^3/48dI
ここで,Iは断面2次モーメントなので,
I=bh^3/12
を代入して
E=PL^3/48d(bh^3/12)=PL^3/4dbh^3　・・・(2)

ここで,フックの法則よりひずみは，
ε=σ/E
なので,(1)と(2)を代入して,
ε=(3PL/2bh^2)/(PL^3/4dbh^3）=6hd/L^2

です。

お礼

御回答有難うございます。
式の導き方が良く解りました。
断面係数や断面２次モーメントの意味（中身）については材料力学の本で再度勉強してみます。
どうしても解らなかった時には再度質問致しますので、その節は宜しく御願いします。

回答No.3

noname#65504

>ｄ＝ＰＬ^４／４８ＥＩのＬ^４がＬ^３なのでしょうか？

＃１です。既に＃２さんが回答してくれていますが、タイプミスでした。

お礼

ご回答頂きましてありがとうございます。
おかげさまで試験規格の根拠が解りました。

回答No.1

noname#65504

その試験方法についてよく知らないので、間違っているかもしれませんが、材料力学・構造力学より

一端ピン支持、他端ローラーの単純支持梁の中央に集中荷重をＰを加えた時に生じる曲げモーメント最大値は中央部分で発生し、
　　Ｍ＝ＰＬ／４

応力度は以下の式より求められます。
　　σ＝Ｍ／Ｚ

ここでＺは断面係数で、長方形断面の場合、
　　Ｚ＝ｂｈ＾２／６

ですので、これらの関係から応力度σの式は導き出せます。このときＰが破断時の荷重ならば、σは破断曲げ応力度となります。

次に、中央に生じるたわみ（最大たわみになる）は
　　ｄ＝ＰＬ＾４／４８ＥＩ

ここでＥはヤング係数で以下の関係があります。
　　σ＝Ｅε

Ｉは断面２次モーメントで、長方形断面の場合、
　　Ｉ＝ｂｈ＾３／１２

これらの関係から、εの式は導き出せます。

以上は弾性体について適用できる式ですので、粘弾性体的挙動を示すゴム等もありますので、材質によってには使用できないかもしれませんが、弾性理論が成り立つのでしたら、使用できるのではないかと思います（これについては自信なし）

参考資料
日本建築学会　構造用教材２

補足

ご回答頂きまして有難うございます。
さて、応力度σは良く分かりましたが、ひずみεは６hd／Ｌ^３に成ってしまいました。
ｄ＝ＰＬ^４／４８ＥＩのＬ^４がＬ^３なのでしょうか？
それとも他に原因が有りますでしょうか？
宜しくお願いします。