複素級数の証明問題です。長文ですが宜しくお願いします。

質問

定理　級数Σ[k;0→∞]a_kが絶対収束するなら、その項の順序を任意に入れ替えてできた級数Σ[l;0→∞]a_l’も絶対収束し、その和は変わらない。の証明で教科書の説明に理解できない点がありますので教えて下さい。
以下は【証明】の説明文からの一部抜粋です。

S_n=a_0+a_1+…+a_n,　　S_m’=a_0’+a_1’+…+a_m’,
Σ[k;0→∞]a_k=S, 　Σ[l;0→∞]a_l’=S’とおくと、

(1)、Σ[k;0→∞]a_k が絶対収束するので、任意の正の数ε＞0に対して適当に番号n_0を定めて、n≧n_0, k＞0のときつねに
|S_n－S|＜ε/2, |a_(n＋1)|+|a_(n＋2)|+…+|a_(n＋k)|＜ε/2　となるようにできる。

(2)、ここで十分大きな番号mをとるとき、S_m’はa_1,a_2,…,a_nとr＞n のような項a_rをいくつか含むようにできる。d_m,n　をa_1,a_2,…,a_n以外の項の和とすると、S_m’=S_n+d_m,n　と表される。

(3)、いま、d_m,nに入るa_rの番号のうち最大のものをn+pとすると
|d_m，n|≦|a_(n＋1)|+|a_(n＋2)|+…+|a_(n＋p)|＜ε/2　以下説明文が続き{S_m’}はSに収束し、S=S’となる。(証明終り)とあります。

疑問点は(2)でなぜ最後の式 S_m’=S_n+d_m,n のように表されるのかという点です。
a_1,a_2,…,a_n　のいくつかを含むのであれば解るのですが、そうすると最後の式になぜS_n がくるのか？
十分大きな番号をとるとm＜nであってもS_m’≒S_nというように考えてということなのでしょうか？
文中でa_0 の項が抜けている事に意味があるのでしょうか？それは単に記載ミスなのでしょうか？
分かり易くご教示下さいますなら幸いに思います。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

#1です。

＞(2)ではm＞nと考えてもよいのでしょうか？

いいですよ。
その教科書では、(1)の前と後では、証明している内容が違うので。

証明したいことは、
『Σ[k;0→∞]a_kが絶対収束するならば、Σ[l;0→∞]a_l’も絶対収束し、かつ、Σ[k;0→∞]a_k=Σ[l;0→∞]a_l'(＝和が変わらない)』

ですが、

(1)の前の部分(補足にお書きになった部分)で、『Σ[l;0→∞]a_l’も絶対収束』を証明し、
(1)の後の部分(最初の質問にお書きになった部分)で、『Σ[k;0→∞]a_k=Σ[l;0→∞]a_l'』を証明しています。

(1)の直前で、いったん証明が終わってますので、((1)の前ではm<nとなるnを考えていたのに)その後でn<mとなるようなmを考えても、問題ありません。

お礼

お早うございます。重ね重ね丁寧で解り易いご回答を頂きとても感謝しています。

おかげさまでもやもやしていた気持ちも取れすっきりしました。また質問の際も宜しくお願いします。有難うございました。

回答No.1

eatern27

＞S_m’はa_1,a_2,…,a_nとr＞n のような項a_rをいくつか含むようにできる。

これは、
『「a_0,a_1,…,a_n」と「r>nのような項a_rをいくつか」含むようにできる』
という意味です。

ここで重要なのは、『「a_0,a_1,…,a_n」を全て含むようにできる』という事です。
(「a_0,a_1,…,a_n」を全て含むようにすると、それ以外の項もいくつか含まれてしまうので、「r>nのような項a_rをいくつか」の方についても言及している、といった感じですね)

「a_0,a_1,…,a_n」の総和はS_nです。
「r>nのような項a_rをいくつか」の総和(＝「a_0,a_1,…,a_n」以外の項の和」)をd_m,nとおきました。
全体の総和はS_m'なので、S_m'=S_n+d_m,nとなります。

というわけで、
＞(2)でなぜ最後の式 S_m’=S_n+d_m,n のように表されるのかという点です。
＞a_1,a_2,…,a_n　のいくつかを含むのであれば解るのですが、そうすると最後の式になぜS_n がくるのか？
は解決したでしょうか？

＞十分大きな番号をとるとm＜nであってもS_m’≒S_nというように考えてということなのでしょうか？

違います。ｍの取り方から、必ずｍ＞ｎとなります。
考え方としては、
1≪n≪mなら、S_m’≒S_n(≒S)
とかでしょうか。

＞文中でa_0 の項が抜けている事に意味があるのでしょうか？それは単に記載ミスなのでしょうか？
多分、ミスだと思います。

補足

今晩は。早速のご回答有難うございます。
実は私も最初、ご回答のようにm＞n と考えてもよいのであれば
『「a_0,a_1,…,a_n」と「r＞nのような項a_rをいくつか」含むようにできる』意味と考えました。であれば、
S_m’=S_n+d_m,n は理解できると思ったのですが、質問では省略したのですが、(1)の前の証明文は次のようになっていました。

どのような番号mについても、十分大きな番号nをとると、
|a_1’|+|a_2’|+…+|a_m’|≦|a_1|+|a_2|+…|a_n|≦Σ[k;0→∞]|a_k| とできることから、Σ[l;0→∞]|a_l’|　の部分和は上に有界で単調増加のことがわかるため、Σ[l;0→∞]a_l’は絶対収束することがわかる。

とあることと、アルファベットの順列でm＜n の条件は崩せないのではと考えた訳なんですが…。(2)ではm＞nと考えてもよいのでしょうか？
ご指摘のように必ずm＞nになるとは思うのですが…。